Производните на sec(x) и csc(x)

В предишно видео използвахме правилото за производна на частно, за да намерим производните на tgx и cotgx. В това видео ще продължим и ще намерим производните на secx и cosecx. Да започнем със secx. Производната спрямо х на secx. secx е същото нещо като... Ще намираме производната спрямо х на secx, което е същото нещо като 1 върху cosx. Това е дефиницията на секанс. Тук имаме няколко варианта. Когато научиш верижното правило за диференциране, то може би ще е по-добър начин да сметнеш производната тук. Но ние знаем правилото за производна на частно, затова тук ще приложим него. Не е случайно, че ще получим същия отговор. Правилото за производна на частно всъщност може да бъде изведено от верижното правило и правилото за произведение. Но няма да навлизам в това. Нека просто приложим правилото за частно. Производната ще бъде равна на производната на горната функция... На колко ще е равна производната на 1 спрямо х? Ами, просто 0. По долната функция, т.е. по cosx, минус горната функция, която е просто 1, по производната на долната. Производната на долната е... Производната на cosx е –sinx. Можем да сложим sinx там. Обаче това е –sinx, и тъй като имаме минус, ще бъде отрицателно. Затова можем просто да направим това положително. Тогава цялото това върху долната функция на квадрат. cosx на квадрат. 0 по cosx е просто 0. Остава ни само sinx върху cosx на квадрат. Това можем да го запишем по няколко начина. Можем да кажем, че това е същото нещо като sinx върху cosx по 1 върху cosx. Разбира се, че това е tgх по secx. Можем да кажем, че производната на secх е sinx върху cos квадрат х или tgx по secx. Нека сега направим cosec. Производната спрямо х на cosecх. Това е същото нещо като производната спрямо х на 1 върху sinx. Косеканс е едно върху синус х. Помня това, защото може би си мислиш, че косеканс е реципрочното на косинус, но не е така. Обратното е на това, което очакваш. Реципрочното на косинус не е косеканс, а е секанс. Отново обратното на това, което би очаквал. Това започва с "s", а това започва с "c". Това започва с "c", а това започва с "s". Просто така е дефинирано. Нека просто го пресметнем. Отново ще използвам формулата за намиране на производна на частно, но може и да се направи с верижното правило. Ще бъде производната на израза отгоре, който е 0, по израза отдолу, който е sinx, минус израза отгоре, който е 1, по производната на израза отдолу, която е cosx, всичко това върху израза отдолу на квадрат, т.е. sin квадрат х. Това е 0. Получаваме –cosx върху sin квадрат х. Можем да го разгледаме по този начин или сякаш това е същото нещо като това тук. Това е същото нещо като –cosx върху sinx по 1 / sinx. Това е –cotgx. –cotgх по... Може би ще го запиша така. По 1 /sinx е равно на cosecх. Косеканс от х. Което на теб ти е по-полезно.