Допирателни прави и скорост на изменение

Позицията на автомобил, движещ се по улицата, стойността на валута, преизчислена спрямо инфлацията, броят на бактериите в култура или напрежението на променлив електрически сигнал са примери за величини, които се променят с времето. В този раздел ще изследваме скоростта на промяна на величина и как тя е геометрично свързана със секущите и допирателните прави.

Ако две различни точки $P(x_0; y_0)$P, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis и $Q(x_1; y_1)$Q, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, ;, y, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis лежат на кривата $y = f(x)$y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, то наклонът на секущата, която пресича кривата в тези две точки, е

$\displaystyle m_{\sec} = \dfrac{y_1 - y_0} {x_1 - x_0} = \dfrac{f(x_1) - f(x_0)} {x_1 - x_0}\,$m, start subscript, \sec, end subscript, equals, start fraction, y, start subscript, 1, end subscript, minus, y, start subscript, 0, end subscript, divided by, x, start subscript, 1, end subscript, minus, x, start subscript, 0, end subscript, end fraction, equals, start fraction, f, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, divided by, x, start subscript, 1, end subscript, minus, x, start subscript, 0, end subscript, end fraction.

Ако оставим точката $x_1$x, start subscript, 1, end subscript да се приближава до $x_0$x, start subscript, 0, end subscript, $Q$Q ще се приближава до $P$P следвайки графиката на $f$f. Наклонът на секущата права през $P$P и $Q$Q постепенно ще се приближава до наклона на допирателната в точката $P$P, когато $x_1$x, start subscript, 1, end subscript се приближава до $x_0$x, start subscript, 0, end subscript. В граничния случай горното уравнение се превръща в

$\displaystyle m_{\operatorname{tg}} =\lim_{x_1 \to x_0} \dfrac{f(x_1) - f(x_0)} {x_1 - x_0}\,$m, start subscript, t, g, end subscript, equals, limit, start subscript, x, start subscript, 1, end subscript, \to, x, start subscript, 0, end subscript, end subscript, start fraction, f, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, divided by, x, start subscript, 1, end subscript, minus, x, start subscript, 0, end subscript, end fraction.

Ако означим $h = x_1 - x_0$h, equals, x, start subscript, 1, end subscript, minus, x, start subscript, 0, end subscript, тогава $x_1 = x_0 + h$x, start subscript, 1, end subscript, equals, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h и $h \rightarrow 0$h, right arrow, 0, когато $x_1 \rightarrow x_0$x, start subscript, 1, end subscript, right arrow, x, start subscript, 0, end subscript. Можем да преработим границата като

$\displaystyle m_{\operatorname{tg}} =\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)} {h}$m, start subscript, t, g, end subscript, equals, limit, start subscript, h, \to, 0, end subscript, start fraction, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, divided by, h, end fraction.

Когато тази граница съществува, стойността ѝ $m_{\operatorname{tg}}$m, start subscript, t, g, end subscript е наклонът на допирателната към графиката на $f$f в точката $P(x_0;y_0)$P, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.

Намери наклона на допирателната към графиката на функцията $f(x) = x^3$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed в точката $(2; 8)$left parenthesis, 2, ;, 8, right parenthesis.

Тъй като $(x_0; y_0) = (2; 8)$left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, left parenthesis, 2, ;, 8, right parenthesis, използваме формулата за наклона на допирателната

получаваме

Следователно наклонът на допирателната е $12$12. Спомни си от алгебрата, че уравнението на права при дадени точка и ъглов коефициент е

$\displaystyle y - y_0 = m_{\operatorname{tg}}\cdot(x - x_0)$y, minus, y, start subscript, 0, end subscript, equals, m, start subscript, t, g, end subscript, dot, left parenthesis, x, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.

Уравнението на права при дадени точка и ъглов коефициент ни дава уравнението

което можем да сведем до

$\displaystyle y = 12x - 16$y, equals, 12, x, minus, 16.

Сега искаме да намерим формула за наклона на допирателна в произволна точка от графиката на $f$f. Това ще бъде същата формула, която използвахме досега, но в която сме променили константата $x_0$x, start subscript, 0, end subscript с променливата $x$x. Това ни дава

$\displaystyle m_{\operatorname{tg}} =\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)} {h}\,$m, start subscript, t, g, end subscript, equals, limit, start subscript, h, \to, 0, end subscript, start fraction, f, left parenthesis, x, plus, h, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, h, end fraction.

В тази формула ще използваме следния начин на записване:

$\displaystyle f\,'(x) =\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)} {h}\,$f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, limit, start subscript, h, \to, 0, end subscript, start fraction, f, left parenthesis, x, plus, h, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, h, end fraction,

където четем $f\,'(x)$f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis като "$f$f прим от $x$x." Следващият пример илюстрира ползата ѝ

Ако $f(x) = x^2 - 3$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 3, намери $f\,'(x)$f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis и използвай този резултат, за да намериш наклона на допирателните при $x = 2$x, equals, 2 и при $x = -1$x, equals, minus, 1.

Тъй като

$\displaystyle f\,'(x) =\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)} {h}$f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, limit, start subscript, h, \to, 0, end subscript, start fraction, f, left parenthesis, x, plus, h, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, h, end fraction,

то

За да намерим наклона, заместваме $x=2$x, equals, 2 и $x=-1$x, equals, minus, 1 в резултата за $f\,'(x)$f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis и получаваме

и

$\displaystyle f\,'(-1) = 2(-1) = -2$f, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, minus, 2.

Следователно наклоните на допирателните при $x = 2$x, equals, 2 и $x = -1$x, equals, minus, 1 са съответно $4$4 и $-2$minus, 2.

Намери наклона на допирателната към графиката на функцията $f(x) = 1/x$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 1, slash, x в точката $(1; 1)$left parenthesis, 1, ;, 1, right parenthesis.

Като използваме формулата за наклона на допирателната

и заместим с $f(x) = 1/x$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 1, slash, x, получаваме

Като заместим с $x=1$x, equals, 1, получаваме

$f'(1)= \dfrac{-1} {(1)^2}= -1$f, prime, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, start fraction, minus, 1, divided by, left parenthesis, 1, right parenthesis, squared, end fraction, equals, minus, 1.

Следователно наклонът на допирателната в $x = 1$x, equals, 1 към графиката на функцията $f(x) = 1/x$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 1, slash, x е $m = -1$m, equals, minus, 1. За да намерим уравнението на допирателната, използваме формулата за уравнение на права при дадени точка от правата и ъглов коефициент:

$\displaystyle y - y_0 = m\cdot(x - x_0)$y, minus, y, start subscript, 0, end subscript, equals, m, dot, left parenthesis, x, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis,

където $(x_{0}; y_{0}) = (1; 1)$left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, left parenthesis, 1, ;, 1, right parenthesis. Уравнението на допирателната е

Основната идея на диференцирането е изчисляването на скоростта на изменение на една величина с изменението на друга величина. Например скоростта на движение се дефинира като изменението на позицията с времето. Ако кола изминава $120$120 мили за $4$4 часа, скоростта ѝ е

$\dfrac{120\text{ мили}}{4\text{ часа}} = 30 \text{ мили/час}$start fraction, 120, start text, space, м, и, л, и, end text, divided by, 4, start text, space, ч, а, с, а, end text, end fraction, equals, 30, start text, space, м, и, л, и, slash, ч, а, с, end text.

Тази скорост се нарича средна скорост на промяна на разстоянието с времето. Разбира се, една кола, която изминава $120$120 мили със средна скорост $30$30 мили в час в продължение на $4$4 часа, не се движи непременно с постоянна скорост. Възможно е да ускорява или да се забавя през тези $4$4 часа.

Обаче, ако колата се блъсне в дърво, силата на удара и размера на щетите ще зависят не от средната скорост, а от скоростта в момента на удара. Така че тук имаме два различни вида скорост - средна скорост и моментна скорост.

Средната скорост на един обект се дефинира като преместването $\triangle x$triangle, x, разделено на дължината на времевия интервал $\triangle t$triangle, t, за който преместването се е случило:

Средната скорост също така отразява наклона на секущата права, която свързва две точки. Фигура 1 показва $\purple{\text{секущата права}}$start color #9d38bd, start text, с, е, к, у, щ, а, т, а, space, п, р, а, в, а, end text, end color #9d38bd през точкитеs $\pink{(t_0; x_0)}$start color #ff00af, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, ;, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #ff00af и $\pink{(t_1; x_1)}$start color #ff00af, left parenthesis, t, start subscript, 1, end subscript, ;, x, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis, end color #ff00af от $\blue{\text{графиката на позицията спрямо времето}}$start color #6495ed, start text, г, р, а, ф, и, к, а, т, а, space, н, а, space, п, о, з, и, ц, и, я, т, а, space, с, п, р, я, м, о, space, в, р, е, м, е, т, о, end text, end color #6495ed.

Така заключаваме, че средната скорост на обект между момент $t_0$t, start subscript, 0, end subscript и момент $t_1$t, start subscript, 1, end subscript се изразява геометрично с наклона на секущата права, свързваща точките $(t_0; x_0)$left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, ;, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis и $(t_1; x_1)$left parenthesis, t, start subscript, 1, end subscript, ;, x, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis. Ако изберем $t_1$t, start subscript, 1, end subscript да бъде близка до $t_0$t, start subscript, 0, end subscript, то средната скорост за този времеви интервал ще бъде близка до моментната скорост в $t_0$t, start subscript, 0, end subscript.

Средната скорост на изменение на произволна функция $f$f в даден интервал се представя геометрично като наклона на правата, пресичаща графиката на $f$f. Моментната скорост на промяна на $f$f в конкретна точка се представя като наклона на допирателната към графиката на $f$f в тази точка. Нека разгледаме всеки от случаите по-подробно.

Средната скорост на промяна на функцията $f$f за интервала $[x_0; x_1]$open bracket, x, start subscript, 0, end subscript, ;, x, start subscript, 1, end subscript, close bracket е

Фигура 2 показва $\purple{\text{секущата права}}$start color #9d38bd, start text, с, е, к, у, щ, а, т, а, space, п, р, а, в, а, end text, end color #9d38bd през точките $\pink{(x_0; f(x_0))}$start color #ff00af, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, right parenthesis, end color #ff00af и $\pink{(x_1; f(x_1))}$start color #ff00af, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, ;, f, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis, right parenthesis, end color #ff00af от $\blue{\text{графиката на} \,f}$start color #6495ed, start text, г, р, а, ф, и, к, а, т, а, space, н, а, end text, f, end color #6495ed. Наклонът (ъгловият коефициент) на тази секуща права е $m_{\sec}$m, start subscript, \sec, end subscript.

Моментната скорост на изменение на функцията $f$f в точката $x_0$x, start subscript, 0, end subscript e

Фигура 3 показва $\purple{\text{допирателната}}$start color #9d38bd, start text, д, о, п, и, р, а, т, е, л, н, а, т, а, end text, end color #9d38bd през точката $\pink{(x_0; f(x_0))}$start color #ff00af, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, right parenthesis, end color #ff00af от $\blue{\text{графиката на} \,f}$start color #6495ed, start text, г, р, а, ф, и, к, а, т, а, space, н, а, end text, f, end color #6495ed. Наклонът (ъгловият коефициент) на тази допирателна е мементната скорост на изменение $m_{\operatorname{tg}}$m, start subscript, t, g, end subscript.

Нека $y = x^2 - 3$y, equals, x, squared, minus, 3.

(a) Намери средната скорост на изменение на $y$y с промяната на $x$x за интервала $[0; 2]$open bracket, 0, ;, 2, close bracket.

(б) Намери моментната скорост на изменение на $y$y с промяната на $x$x при $x = -1$x, equals, minus, 1.

(а) Като приложим формулата за средната скорост на изменение при $f(x) = x^2 - 3$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 3 и $x_0 = 0$x, start subscript, 0, end subscript, equals, 0 и $x_1 = 2$x, start subscript, 1, end subscript, equals, 2, получаваме

Това означава, че средната скорост на изменение за интервала $[0;2]$open bracket, 0, ;, 2, close bracket е две единици нарастване на $y$y за всяка единица нарастване на $x$x.

(б) От пример 2 по-горе намерихме, че $f\,'(x) = 2x$f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, така че

Това означава, че моментната скорост на изменение е отрицателна. Т.е., $y$y намалява при $x=-1$x, equals, minus, 1. Намалява със скорост от $2$2 единици за всяка единица нарастване на $x$x.