Основно съдържание
Математически анализ, пълно съдържание (изд. 2017)
Курс: Математически анализ, пълно съдържание (изд. 2017) > Раздел 2
Урок 7: Използване на формалното определение за производна- Производните на x² at x=3 чрез формалната дефиниция
- Производната на x² в произволна точка чрез формалната дефиниция
- Израз за граница на производна на линейна функция
- Израз за граница като производна на функцията cos(x) в минимална точка
- Израз за граница на производна на функция (графично решение)
- Допирателни прави и скорост на изменение
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Израз за граница на производна на линейна функция
Сал обяснява израз за граница като производна на линейна функция в дадена точка и го изчислява. Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Дадено е g(х) = –4х + 7. Колко е стойността на границата на всичко това,
когато х клони към –1? Преди да започнем да разсъждаваме,
нека да начертая правата. И ще помислим какво ни питат. Ще начертая осите. Това е вертикалната ос
и това е хоризонталната ос. Това е оста х. Надписвам я с х. Ще построим графиката
на g(х), като тя има положителна пресечна точка с оста у
или с вертикалната ос. Наклонът е –4, така че ще изглежда
като нещо подобно. Нека да се постарая. Ще изглежда ето така. Вече знаем, че наклонът е –4. Знаем това от самото
уравнение, че наклонът е –4. И ни питат колко е границата, когато х клони към –1
на този израз. Ще нанеса точката в –1. Когато х е –1, това
е ето тази точка. Тази точка тук е (–1; g(–1)). Ще надпиша всичко останало. Това е оста у. Това е графиката на у = g (х). Тук те определят наклона между произволна точка (х; g(х)) и ето тази точка.
Да го направим. Да вземем друго х. Нека да е това х. Това е точката (х; g(х)). Този израз ето тук, обърни внимание, че
това е промяната по вертикалата. Това е g(х). Ще го направя така. Това е промяната по
вертикалната ос. Това е g(х) – g(–1). А това тук... всъщност
ще го напиша по този начин, за да следиш цветовете –
минус g(–1), цялото върху промяната
по хоризонталната ос. Промяната по хоризонталата е това разстояние, което
е същото като това разстояние. Забележи, промяната по вертикалата
върху промяната по хоризонталата, като зелената точка
е крайната точка. Това е х минус –1. Това е съвсем същият израз. Тези изрази са еднакви. Можем да ги опростим,
минус –1, това става плюс. Това е +1. Но тези изрази
са еднакви. Това е изразът практически за наклона между –1
и g(–1) и произволно х. Вече знаем, че каквото
и х да изберем, наклонът между (х, g(х))
и тази точка ето тук е равен на константа. Това е наклонът
на правата. Равен е на –4. Това е равно на –4. Независимо колко близко
е х, независимо дали х клони отляво или отдясно. Това нещо, границата
на това, това е просто –4. Това е просто
наклонът на правата. Дори да намерим границата,
когато х клони към –1, когато х е все по-близко
и по-близко до –1, тогава тези точки просто ще бъдат все по-близо
и по-близо. Всеки път като изчислиш
наклона, това просто ще бъде наклонът
на тази права, който е –4. Това може да се направи
и алгебрично. Да го решим алгебрично. Просто да намерим границата, когато х клони към –1,
на g(х). Вече знаем колко е g(х). То е –4х + 7, минус g(–1). Това е минус, колко е g(–1)? Минус 1 по 4 е плюс 4. +4 плюс 7 е равно на 11. Всичко това е върху х + 1. Всъщност това е х минус –1, може да го разглеждаш
и по този начин. Но аз ще напиша просто х + 1. Това е равно на границата, когато х клони към –1,
и в числителя... 7 минус 11 е равно на –4. Можем да изнесем
пред скоби –4. Става –4 по (х + 1), цялото
върху (х + 1). И понеже търсим границата,
когато х клони към –1, можем да съкратим тези. И това ще бъде различно от нула
за всяка стойност на х, различна от –1. Значи това е равно на –4. И по двата начина
получихме –4. И както разбра, това
е права, която има постоянен наклон. Това е просто наклонът
между някаква произволна точка от правата и точката (–1; 11). (–1; 11), това е същото
като наклонът на правата. Това е –4.