Израз за граница като производна на функцията cos(x) в минимална точка

Нека g(х) да е равно на косинус от х. Нека да видим графиката на функцията. Ето това е графиката на функцията. Направих я предварително. Това е сегмент от графиката на cosх за х в интервала между 0 и π. Очевидно е, че след това тя продължава и в двете посоки. Питат ни каква е границата на g(π + h) – g(π) върху h, когато х клони към нула. Да помислим за това. Интересува ги g(π). Да намерим точката (π; g(π)). Ето това е точката (π; g(π)). Същото така ги интересува g(π + h). Нека това ето тук, това е х равно на (π +h). После това ето тук е точката (π + h); g(π + h)) – това е ето тази точка. И всъщност се търси наклонът между двете точки. Ако искаме да намерим наклона между тези точки, той е равен на изменението на стойността на у върху промяната на х, вертикалната промяна върху хоризонталната. Каква е промяната по вертикалата? Промяната по вертикалата, това е тази стойност за у... значи от g(π + h) изваждаме тази стойност тук – минус g(π). Това е промяната по вертикалата минус промяната по хоризонталата. Колко ще стане това? Това ще стане π + h – π. И това е точно, каквото получаваме тук, преди да намерим границата, която имаме ето тук. Значи това ще стане g(π + h) – g(π), цялото върху – тези π се унищожават, цялото върху h. Сега, за този наклон... Това е наклонът на секущата права в тази точка. Сега да видим какво се случва, когато h се приближава все повече и повече към 0. По начинът, по който съм го начертал тук, това означава, че тази точка ще бъде все по-далеч и по-далеч наляво. Тази точка отива все по-далече наляво. Значи π + h клони към π, когато h клони към 0. Ако приемем, че h е по-малко от 0, тогава ще клони от ето тук. Но какво ще се случи, когато h става все по-малко и по-малко? Точката (π + h; g(π + h)) става все по-близка и по-близка до тази точка. И наклонът на тези секущи прави... Знам, че е трудно да се види, защото тук е малко... но те започват да се приближават все повече до наклона на допирателната в точката x = π. Това е просто друг начин да кажем, че това е наклонът на допирателната в точка х е равно на π. Как изглежда това? Наклонът на допирателната, ние сме в точката на минимум, когато х = π ето тук. Косинус от π знаем, че е –1. Това е минималната стойност. Един от минимумите. Косинус от х периодично достига тази стойност. Допирателната ще бъде просто една хоризонтална права. Знаем, че това тук ще бъде 0. Има два начина да се справиш с това. Сега не разполагаме с инструменти, с които да го решим алгебрично – да кажем, че cos(π + h) минус косинус от π. Има начини да се реши това. Но ние няма да го правим сега. Другият вариант е просто да сметнем това с калкулатор. Можеш да кажеш например: нека да вземем много малки стойности на h и да го сметнем. Да сметнем cos(π + h) – cos(π) върху това малко h. И тук ще имаме все по-малки и по-малки h. Да опитаме това. Ще бъде интересно. Само да поясня. Ще вземем много, много малки стойности на h, h се приближава към 0. Само да се уверя, че съм в режим с радиани. Не, режимът е с градуси. Ще го поправя. Добре, така е идеално. Сега ще въведа косинус от π. Ще взема достатъчно малко h, 0,1, минус косинус от π. Винаги забравям къде е π. Това е числителят. Сега ще разделя това на същото h, на 0,1. Това е полученият отговор, делен на 0,1. Получавам 0,04. Сега ще направя h даже още по-малко. Но сега ще го сметна с един израз. Значи косинус от... всъщност, ще го направя още по-малко... от π + 0,0001... това е 1/10 000 повече от това π, минус косинус от π. Сега ще разделим това на h, на 0,0001. Какво получаваме? 5 по 10 на степен –5. И сега виждаш, че получаваме наистина много, много, много малко число, защото този израз клони към 0.