Какво е функция?

Функцията, обяснено по един малко абстрактен начин, представлява зависимост, която свързва една входна стойност (аргумент) с една изходна стойност. Функцията поглежда дадения аргумент, взима го и го преобразува по някакъв начин, така че да се получи само една изходяща стойност. Например, може да имам нещо като функцията f(х)... 'х' е един от най-често срещаните аргументи, и 'f' е едно от най-използваните означения за функция, но ще видим че могат да се използват и други... f(х) = х^2, ако 'х' е четно число, или е равна на х + 5, ако 'х' е нечетно число. Какво би се случило, ако аргументът 'х' приеме стойност 2? Можем да разберем, като заместим 'х' с 2. Вече имаме функция от 2. Имаме f(2). Това означава: "Нека заместим с 2 в нашата функция f(x). И навсякъде където имаме променливата 'х', я заместваме с числото 2. Ако 'х' е четно число, то f(x) = х^2, ако 'х' е нечетно, то f(x) = х + 5. 2 е четно число, така че f(x) = x^2. И така f(2) е равна на 2 на втора степен или 4. А колко е f(3)? Отново заместваме 'х' с 3, спазвайки условието за четни и нечетни. Отново заместваме 'х' с 3. Имаме f(3), 3 е нечетно число и затова функцията е равна на х + 5, или 3 + 5, което е 8. Това е един удобен начин за дефиниране на стойността на функцията. Функцията може да бъде дефинирана и по традиционния начин с формула, особено ако ми позволиш да използвам този начин с квадратните скоби. Има ли нещо, което една функция може да прави и аз не мога да го изразя с моите традиционни средства? Можем да определим функция дори по следния начин... Нека не използвам отново f(x). Нека ти покажа, че означенията могат да бъдат различни. Нека за разнообразие да означим функцията h(a) е равно на следващото най-голямо число, което започва със същата буква като променливата 'a'. Ще използваме думи на български. Например, колко е h(2). Числото 2 започва с буквата "д". Кое е следващото най-голяма число, което започва с буквата "д"? Това е 9 и h(2) е равно на 9. А на колко би било равно h(8)? Числото 8 започва с буквата "о". Следващото най-голямо число, започващо с "о", е 18. Както виждаш това е един много общ метод. Разгледай как определихме функцията h, числата, буквите. Общо взето това е един доста опростен пример само в нашия контекст. Не всички функции трябва да бъдат изваждани от контекста на математиката. В математиката имаме функции като y = x + 1. Това може да се представи и като y = f(x) = x + 1. Ако аргументът е... Ако например x е 0, f(0) = 0 + 1, f(0) = 1, функцията е равна на 1, ако х е 2, функцията е равна на 3. Нека направим таблица за аргумента 'х' и променливата 'y'. Когато х е 0, y e 1. Ако х е 2, f(2) е 3. и ние сме правили преди това с таблици. 'x' и 'y' Когато x=0, у=1; за х=2 у=3. И сега може би се чудиш: Какъв е смисълът да пишем тогава, че f(x) = x + 1? Ето какъв е смисълът. Това е просто един по-общ начин да изразим функцията. За нещо подобно като y = x + 1 ние наистина не се нуждаем да въвеждаме понятието функция, но не пречи да го направим, защото именно то прави нещата много по-ясни че функцията взима аргумента и получаваме точно една определена стойност. Тази дефиниция казва: Добре, х + 1, взима аргумента и извежда стойност с 1 по-голяма от х. Знам какво се чудиш сега. Какво тогава не е функция? Започни, че функцията взима даден аргумент и дава една единствена възможна променлива. Например нещо като.... Нека представя нещата малко по-визуално този път. Това е ординатната ос y, а това е абсцисата х. Ще начертая окръжност тук , която има радиус 2. Това е –2, това е +2. Центърът на моята окръжност е в началото на координатната система. Това е най-добрият ми опит да начертая окръжност. Уравнението на тази окръжност е х^2 + y^2 = r^2, или 4. Въпросът тук е дали тази зависимост между х и y, изразена като уравнение и като начертаната окръжност, която съдържа всички х и у, които удовлетворяват това уравнение... Дали тази зависимост между 'х' и 'у' е функция? Можем веднага да забележим визуално, че не е. Избери някаква стойност на 'х', например 1, и съществуват две възможни стойности за 'y', свързани с това х, това 'y' тук горе и това 'y' тук долу. Можем да забележим и като заместим във формулата. Когато х+1, 1^2 + y^2 = 4, 1 + y^2 = 4, изваждаме 1 от двете страни, y^2 = 3 или y = + – корен квадратен от 3. Горе в първи квадрант е корен квадратен от 3, а долу е минус корен квадратен от 3. Тази ситуация, където аргументът е 1, въвеждам аргумента в моята малка кутия тук, и съответната стойност на това х = 1 е +/– корен квадратен от 3. Това не е функция. Не мога да свържа аргумента с две различни възможни стойности на изхода. Винаги трябва да има само една възможна стойност за даден аргумент.