Задачи за уравнения по дадени ъглов коефициент и пресечна точка

В това видео ще разгледаме множество примери за намиране на уравнения на прави от вида по дадени ъглов коефициент и пресечна точка с Оу. Да си припомним – това означава уравнения на прави във вида y = mx + b, където m е ъгловият коефициент (наклонът), а b е ординатата на пресечната точка с Оу. Нека просто решим няколко от тези задачи. Тук ни казват, че правата има наклон –5, така че m = –5. И тя пресича Оу при у = 6. Така че b е равно на 6. Това е доста просто. Уравнението на тази права е у = –5x + 6. Това не беше твърде лошо. Нека направим това следващото тук. Правата има ъглов коефициент –1 и минава през точката (4/5; 0). И така, даден ни е ъгловия коефициент –1. Така че знаем, че m = –1, но не сме 100 % сигурни къде е пресечната точка с Оу. Знаем, че това уравнение ще има вида у е равно на наклона –1x плюс b, където b е ординатата на пресечната точка с Оу. Можем да използваме тази информация за координатите – фактът, че тя минава през тази точка – за да намерим b. Фактът, че правата минава през тази точка означава, че х = 4/5, y = 0 трябва да удовлетворяват това уравнение. Нека да заместим. y е равно на 0, когато х = 4/5. Така че 0 е равно на –1 по 4/5 плюс b. Ще превъртя малко надолу. Получаваме 0 = –4/5 плюс b. Можем да добавим 4/5 към двете страни на това уравнение. Така че получаваме 4/5 там. Можеш да добавиш 4/5 също и към тази страна. Правя това, за да се унищожи с това. Получаваме b = 4/5. И сега имаме уравнението на правата. y е равно на –1 по x, което пишем като –x, плюс b, което е 4/5, ето така. Сега да видим следващото. Правата минава през точки (2; 6) и (5; 0). В условието не са ни дадени ъгловия коефициент (наклона) и пресечната точка с Оу. Но ние можем да намерим и двете от тези координати. Първо можем да намерим ъгловия коефициент (наклона). Знаем, че наклонът m е равен на изменението на y върху изменението на x, което е равно на... Каква е промяната на y? Да започнем с това тук. Правим 6 минус 0. 6 минус 0 Нека го направя по този начин. И така, това е 6... искам да го означа цветово... минус 0. 6 минус 0, това е промяната на y. Промяната на x е 2 минус 5. Отбелязах цветово, защото искам да ти покажа, че когато използвам този y първо, използвах 6 тук, трябва да използвам също и този х първо. Исках да ти покажа, че това са координатите (2; 6). Това са координатите (5; 0). Така няма опасност да разменя двойката и петицата. Тогава щях да получа неправилен отговор. Но какво получавам тук? Това е равно на 6 минус 0, което е 6. 2 минус 5 е –3. Това става –6/3, което е равно на –2. Това е нашият наклон. И така, досега знаем, че правата трябва да бъде y е равно на наклонът... ще го направя в оранжево... –2х плюс ординатата на пресечната точка с Оу. Сега можем да направим точно това, което направихме в последната задача. Можем да използваме една от тези точки, за да намерим b. Можем да използваме всяка една от двете. И двете лежат на правата и трябва да удовлетворяват това уравнение. Ще използвам (5; 0), защото винаги е хубаво, когато имаме 0 там. Пресмятанията са по-лесни. Нека сложим (5; 0) там. y е равно на 0, когато х е равно на 5. y = 0, когато имаме –2 по 5, х е равно на 5, плюс b. Получаваме 0 е равно на –10 плюс b. Ако добавим 10 към двете страни на това уравнение, тези двете се унищожават. Получаваме b = 10 + 0 = 10. Получаваме b е равно на 10. Сега знаем уравнението на правата. Уравнението е y... нека го направя с нов цвят... у = –2x плюс b, плюс 10. И сме готови. Нека да направим още една такава задача. Правата минава през точките (3; 5) и (–3; 0). Както при последната задача, започваме с намирането на m – ъгловият коефициент (наклонът). Той е равен на издигането върху изместването, или на изменението на y върху изменението на x. Ако сте правили това за домашно, не би трябвало да пишеш всичко това. Аз просто искам да се уверя, че разбираш, че тези всички са едно и също нещо. Каква е промяната на y върху промяната на x? Това е равно на... нека да започнем с тази страна първо. Искам да ти покажа, че мога да избера която и да е от тези точки. Да кажем, че това е 0 минус 5. Използвам тази координата първо. Разглеждам я един вид като крайна точка. 0 минус 5. Когато за първи път научих това, винаги се изкушавах да сложа x в числителя. Не, използваш у в числителя. Това е втората от координатите. Това ще бъде върху –3 минус 3. Това са координатите на точката (–3; 0). Това са координатите на точката (3; 5). Изваждаме това. Какво ще получим? Това ще бъде равно на... ще го направя в неутрален цвят. Това е равно на числителя, който е –5, върху –3 минус 3, което е – 6. Получаваш 5/6. Знаем, че уравнението ще бъде във вида у = 5/6x + b. Сега можем да заместим с едни от тези координати за b. Нека го направим. Винаги обичам да използвам тези, които съдържат 0 в себе си. y е нула, когато х е –3, плюс b. Всичко, което направих, е да заместя –3 за x и 0 за y. Мога да направя това, защото точката лежи на правата. Това трябва да удовлетворява уравнението на правата. Нека да намерим b. Получаваме нула е равно на... ако разделим –3 на 3, това става 1. Ако разделим 6 на 3, това става 2. Така че става –5/2 плюс b. Можем да добавим 5/2 към двете страни на уравнението, плюс 5/2. Обичам да сменям моите означения, просто защото така ще се запознаеш и с двете. Уравнението става 5/2 е равно на... това е 0... равно на b. b е 5/2. Уравнението на нашата права е y = 5/6x + b, което ние току-що намерихме, че е 5/2, плюс 5/2. Готови сме. Нека да направим още една. Тук имаме една графика. Нека да намерим уравнението на тази графика. Това всъщност е малко по-лесно. Какъв е ъгловият коефициент (наклонът)? Наклонът е изменението на y върху изменението на x. Нека да видим какво ще стане. Когато нашата промяна в x е 1, така че това е нашата промяна на x. И така, промяната в x е 1. Просто решавам да променя моето x с 1, увеличавам го с 1. Каква е промяната на y? Изглежда, че y се променя точно с 4. Изглежда, че моето делта y, моята промяна на y, е равна на 4, когато моето делта x е равно на 1. И промяната на y върху промяната на x... промяната на y е 4, когато промяната на x е 1. Така че наклонът е равен на 4. Колко е ординатата на пресечната точка с Оу? Тук можем просто да погледнем графиката. Изглежда, че тя пресича оста y в у = –6, или в точка (0; –6). Следователно b е равно на –6. b = –6. Така че знаем уравнението на правата. Уравнението на правата е y е равно на наклона по x плюс ординатата на пресечната точка с Оу. Трябваше да напиша това. Минус 6, това е плюс –6, така че това е уравнението на нашата права. Нека да направим още една от тези задачи. Казват ни, че f(1,5) е –3, а f(–1) е 2. Какво е това? Това е само един модерен начин да ни кажат, че когато х е 1,5, когато въведеш 1,5 във функцията, функцията го изчислява като –3. Това ни казва, че точката (1,5; –3) лежи на правата. След това ни е казано, че точката, когато х е –1, f(х) е равно на 2. Това е просто различен начин на показване, че и двете от тези точки лежат на правата, нищо необичайно. Мисля, че целта на тази задача е да се запознаеш с означението за функция, за да не се изплашиш, когато видиш нещо подобно. Ако изчислиш функцията с 1,5, получаваш –3. Това е координатата, ако си представиш, че y е равно на f(x). Това ще бъде y-координатата. Тя ще бъде равна на –3, когато х е 1,5. Както и да е, казвал съм го много пъти. Нека да намерим ъгловия коефициент (наклона) на тази права. Това е промяната на y върху промяната на x. Да започнем с 2 минус този приятел, минус 3 – това са y-стойностите – всичко това върху –1 минус този приятел. Нека го напиша по този начин: –1 минус този приятел, минус 1,5. Правя го цветно, защото искам да ти покажа, че –1 и 2 – и двете идват от това – ето защо използвам първо тях. Ако използвах тези приятели първо, трябваше да използвам тези x и y първо. Ако използвам първо 2, трябва да използвам –1 първо. Ето защо го означавам цветово. Това ще бъде равно на 2 минус –3. Това е същото нещо като 2 плюс 3. Това е 5. 1 минус... –1 минус 1,5 е –2,5. –2,5. 5 делено на 2,5 е равно на 2. Така че наклонът на тази права е –2. Ще се отклоня малко, за да ти покажа, че няма значение в какъв ред правя това. Ако използвам тази координата първо, тогава трябва да използвам тази координата първо. Нека го направим по другия начин. Ако го бях направил като –3 минус 2 върху 1,5 минус –1, това трябва да бъде –2 върху 1,5 минус –1. Това трябва да ми даде същия отговор. Това е равно на какво? –3 минус 2 е –5, върху 1,5 минус –1. Това е 1,5 плюс 1. Това е върху 2,5. И отново това е равно на –2. Просто исках да ти покажа, че няма значение кое избираш като начална или крайна точка, стига да го правиш последователно. Ако това е началното y, това е началното x. Ако това е крайното y, това трябва да бъде крайното x. Но както и да е, ние знаем, че наклонът е –2. Така че знаем, че уравнението е y е равно на –2x плюс ординатата на пресечната точка с Оу.. Нека да използваме едни от тези координати. Ще използвам тези, тъй като няма десетични знаци. Знаем, че y = 2. y е равно на 2, когато х е равно на –1. Когато х е равно на –1. И разбира се, имаме плюс b. Така че 2 е равно на –2 по –1, което е 2, плюс b. Ако извадиш 2 от двете страни на това уравнение, минус 2 от двете страни на това уравнение, ще получиш 0 от лявата страна, е равно на b. Така че b е 0. И така, уравнението на нашата права е у = –2x. Ако искаш да го напишеш означено като функция, то ще бъде f(x) = –2x. Просто приемам, че y е равно на f(x). Но това наистина е уравнението. Те не са споменали y тук. Така че можеш просто да напишеш тук, че f(x) е равно на 2x. Всички тези координати тук са координатите на x и f(x). Дори можеш да разглеждаш ъгловия коефициент (наклона), като изменението на f(x) върху изменението на x. Те всички са еквивалентни начини за разглеждането на едно и също нещо. .