Преглед на еквивалентни системи от уравнения

Две системи от уравнения са еквивалентни, ако имат еднакво решение(я). Тази статия разглежда въпроса как да познаем дали две системи са еквивалентни.

Системи от уравнения, които имат еднакви решения, се наричат еквивалентни системи.

За дадена система от две уравнения можем да образуваме еквивалентна система, като заместим едното уравнение със сбора от двете уравнения или като заменим едното уравнение с негово кратно.

Обратно на това, можем да сме сигурни, че две системи от уравнения не са еквивалентни, ако знаем, че дадено решение на едното не е решение на другото.

Забележка: Тази идея за еквивалентни системи от уравнения се появява отново в линейната алгебра. Въпреки това примерите и обясненията в тази статия са насочени към гимназиалната алгебра 1 клас.

Пример 1

Дадени са ни две системи от уравнения и трябва да установим дали са еквивалентни.

Система A	Система B
$\begin{array}{r} - 12 x + 9 y = 7 \\ 9 x - 12 y = 6 \end{array}$ ‍	$\begin{array}{r} - 12 x + 9 y = 7 \\ 3 x - 4 y = 2 \end{array}$ ‍

Ако умножим по

3

второто уравнение в система B, получаваме:

\begin{aligned} 3 x - 4 y & = 2 \\ 3 (3 x - 4 y) & = 3 (2) \\ 9 x - 12 y & = 6 \end{aligned}

Заместването във второто уравнение на система B с това ново уравнение ни дава еквивалентна система:

\begin{array}{r} - 12 x + 9 y = 7 \\ 9 x - 12 y = 6 \end{array}

Уау! Виж това! Тази система е същата като система A, което означава, че система A е еквивалентна на система B.

Искаш ли да научиш повече за еквивалентни системи от уравнения? Виж това видео.

Пример 2

Дадени са ни две системи от уравнения и трябва да установим дали са еквивалентни.

Система A	Система B
$\begin{aligned} - 9 x - 4 y & = 5 \\ 2 x + 5 y & = - 4 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} - 7 x + y & = 1 \\ 2 x + 5 y & = - 4 \end{aligned}$ ‍

Интересното е, че ако съберем уравненията от система A, получаваме:

\begin{aligned} - 9 x - 4 y & = 5 \\ + 2 x + 5 y & = - 4 \\ - 7 x + y & = 1 \end{aligned}

Заместването в първото уравнение на система A с това ново уравнение ни дава система, която е еквивалентна на система A:

\begin{aligned} - 7 x + y & = 1 \\ 2 x + 5 y & = - 4 \end{aligned}

Каква изненада! Това е система B, което означава, че система A е еквивалентна на система B.

Пример 3

Дадени са ни две системи и трябва да докажем, че те не са еквивалентни, като намерим решение на едната, което не е решение на другата.

Система A	Система B
$\begin{aligned} - 4 x + 10 y & = 1 \\ - 1 x - 2 y & = - 3 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} - 9 x - y & = 8 \\ - 1 x - 2 y & = 4 \end{aligned}$ ‍

Обърни внимание, че коефициентите на

x

y

във вторите уравнения на двете системи са еднакви. Обаче константните членове в двете уравнения се различават!

Която и да е двойка стойности за

x

y

, която прави система A вярна, ще прави система B грешна и обратното.

Например

x = 1

y = 1

е решение на второто уравнение в система A, но не е решение на второто уравнение в система B.

Система A и система B не са еквивалентни.

Искаш ли да научиш повече за не-еквивалентни системи от уравнения? Виж това видео

Упражнение

Задача 1

Учителят на Елза и Олаф им е дал да решат една система от линейни уравнения. Всеки от тях я е решил в няколко стъпки, които са довели до системите, показани в таблицата по-долу.

	Учител
	$5 x + 3 y = - 1$ ‍
	$4 x - 9 y = 8$ ‍
Елза		Олаф
$4 x - 9 y = 8$ ‍		$15 x + 9 y = - 3$ ‍
$9 x - 6 y = 7$ ‍		$4 x - 9 y = - 5$ ‍

Кой от тях е получил система, която е еквивалентна на тази на учителя?
Спомни си, че две линейни системи са "еквивалентни", ако имат едно и също решение.

Искаш ли още упражнения? Виж това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.