If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

8 клас (САЩ)

Курс: 8 клас (САЩ) > Раздел 4

Урок 3: Решаване на системи със заместване
Математика
8 клас (САЩ)
Системи от уравнения
Решаване на системи със заместване
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Системи от уравнения със заместване

Класна стая на Google
Разглеждане на примери за решаване на системи от уравнения със заместване.
Нека се опитаме да решим следната система от уравнения:
y, equals, 2, x, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, У, р, а, в, н, е, н, и, е, space, 1, end text, end color gray
x, plus, y, equals, 24, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, У, р, а, в, н, е, н, и, е, space, 2, end text, end color gray
Сложното е, че има две променливи, x и y. Само ако можехме да се отървем от едната променлива...
Ето една идея! Уравнение 1 ни казва, че start color #e07d10, 2, x, end color #e07d10 и start color #e07d10, y, end color #e07d10 са равни. Затова можем да заместим start color #e07d10, y, end color #e07d10 с start color #e07d10, 2, x, end color #e07d10 в Уравнение 2, за да се отървем от променливата y в това уравнение:
x+y=24Уравнение 2x+2x=24Замести с 2x за y\begin{aligned} x + \goldD y &= 24 &\gray{\text{Уравнение 2}} \\\\ x + \goldD{2x} &= 24 &\gray{\text{Замести с 2x за y}}\end{aligned}
Брилянтно! Сега имаме едно уравнение само с променливата x, което знаем как да решим:
x+2x=243x=24 3x3=243Раздели всяка страна на 3x=8
Чудесно! Следователно знаем, че x е равно на 8. Но не забравяй, че търсим наредена двойка. Трябва ни също и стойност на y. Нека използваме първото уравнение, за да намерим y, когато x е равно на 8:
y=2xУравнение 1y=2(8)Замести с 8 за xy=16\begin{aligned} y &= 2\blueD x &\gray{\text{Уравнение 1}} \\\\ y &= 2(\blueD8) &\gray{\text{Замести с 8 за x}}\\\\ \greenD y &\greenD= \greenD{16}\end{aligned}
Чудесно! Следователно решението на системата от уравнения е left parenthesis, start color #11accd, 8, end color #11accd, ;, start color #1fab54, 16, end color #1fab54, right parenthesis. Винаги е добра идея да провериш решението, като заместиш в първоначалните уравнения, просто за да сме сигурни.
Нека проверим първото уравнение:
y=2x16=?2(8)Замести x = 8 и y = 1616=16Да!\begin{aligned} y &= 2x \\\\ \greenD{16} &\stackrel?= 2(\blueD{8}) &\gray{\text{Замести x = 8 и y = 16}}\\\\ 16 &= 16 &\gray{\text{Да!}}\end{aligned}
Нека проверим второто уравнение:
x+y=248+16=?24Замести x = 8 и y = 1624=24Да!\begin{aligned} x +y &= 24 \\\\ \blueD{8} + \greenD{16} &\stackrel?= 24 &\gray{\text{Замести x = 8 и y = 16}}\\\\ 24 &= 24 &\gray{\text{Да!}}\end{aligned}
Чудесно! left parenthesis, start color #11accd, 8, end color #11accd, ;, start color #1fab54, 16, end color #1fab54, right parenthesis е наистина решение. Не би трябвало да сме направили никакви грешки.
Твой ред е да решиш система от уравнения, като използваш метода на заместване.
Използвай метода на заместване в следната система от уравнения.
4, x, plus, y, equals, 28
y, equals, 3, x
x, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Намиране първо на една променлива и след това използване на метода на заместване

Понякога използването на метода на заместване е малко по-сложно. Ето друга система от уравнения:
minus, 3, x, plus, y, equals, minus, 9, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, У, р, а, в, н, е, н, и, е, space, 1, end text, end color gray
5, x, plus, 4, y, equals, 32, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, У, р, а, в, н, е, н, и, е, space, 2, end text, end color gray
Забележи, че в нито едно от тези уравнения все още не сме изразили x или y. Затова първата стъпка е да изразим или x, или y. Ето как става това:
Стъпка 1: Изрази в едно от уравненията една от променливите.
Нека изразим y в първото уравнение:
−3x+y=−9Уравнение 1−3x+y+3x=−9+3xПрибави 3x към всяка странаy=−9+3x\begin{aligned} -3x + y &= -9 &\gray{\text{Уравнение 1}} \\\\ -3x + y + \maroonD{3x} &= -9 +\maroonD{3x} &\gray{\text{Прибави 3x към всяка страна}} \\\\ y &= {-9 +3x} &\gray{\text{}}\end{aligned}
Стъпка 2: Замести това уравнение в другото уравнение и намери x.
5x+4y=32Уравнение 25x+4(−9+3x)=32Замести у с (-9 + 3x) 5x−36+12x=3217x−36=3217x=68x=4Раздели всяка страна на 17\begin{aligned} 5x + 4\goldD y &= 32 &\gray{\text{Уравнение 2}} \\\\ 5x +4(\goldD{-9 + 3x}) &= 32 &\gray{\text{Замести у с (-9 + 3x) }} \\\\ 5x -36 +12x &= 32 &\gray{\text{}} \\\\ 17x - 36 &= 32 &\gray{\text{}} \\\\ 17x &= 68 &\gray{\text{}} \\\\ \blueD x &\blueD= \blueD4 &\gray{\text{Раздели всяка страна на 17}}\end{aligned}
Стъпка 3: Замести с x, equals, 4 в едно от първоначалните уравнения и намери y.
−3x+y=−9Първото уравнение−3(4)+y=−9Замести х с 4−12+y=−9y=3Прибави 12 към двете страни на равенството\begin{aligned} -3\blueD x + y &= -9 &\gray{\text{Първото уравнение}} \\\\ -3(\blueD{4}) +y &= -9 &\gray{\text{Замести х с 4}} \\\\ -12 + y &= -9 &\gray{\text{}} \\\\ \greenD y &\greenD= \greenD3 &\gray{\text{Прибави 12 към двете страни на равенството}} \end{aligned}
Така че решението не е left parenthesis, start color #11accd, 4, end color #11accd, ;, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.

Да се упражняваме малко!

1) Използвай метода на заместване, за да решиш следната система от уравнения.
2, x, minus, 3, y, equals, minus, 5
y, equals, x, minus, 1
x, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2) Използвай метода на заместване, за да решиш следната система от уравнения.
minus, 7, x, minus, 2, y, equals, minus, 13
x, minus, 2, y, equals, 11
x, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3) Използвай метода на заместване, за да решиш следната система от уравнения.
minus, 3, x, minus, 4, y, equals, 2
minus, 5, equals, 5, x, plus, 5, y
x, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.