Въведение в параметричните уравнения

Да речем, че имам една скала. Нека я направя, не знам, да речем, че е висока 50 метра. И върху тази скала имам кола. И тази кола не просто седи на скалата, тя се движи по нея. Много драматичен проблем. Така че, нека да видим - имам тази кола тук. И тя се движи върху тази скала с 5 метра в секунда. И аз искам да знам, какъв е пътят на тази кола, докато пада от скалата? Нека да направим малка координатна ос тук. Да речем, че това е оста y точно там. И тогава това ще бъде моята ос x. Това е y, това е x. Да речем, че това е точката - знаем, че това е 50 метрова скала. Може би, където y се равнява на 0 е морското равнище. Така че, това тук ще бъде 50. И нека кажем, че при тази точка тук на скалата, х е равно на 10. Така че, тази точка тук е точка 10, 50. И нека кажем, че точно в тази точка колата, точно тук излиза извън скалата. Времето е равено на 0. Така че, тук времето е равно на 0. t за времето. Времето е равно на нула. Въпросът ми е, какво се случва с тази кола, когато излезе от скалата? Това е малко физичен проблем, но аз няма да навлизам дълбоко във физиката. И няма да доказвам някои от уравненията. Препоръчвам ви да гледате клиповете по кинематика, тези за движението на ракета, ако искате да знаете, от къде идват уравненията. Въпросът тук е просто да вземем уравненията и да видим как щизглежда графиката. Така че, ако искам да намеря x като функция на времето - подходящ различен цвят - x като функция на времето ще бъде колко? Ще приемем, че сме на планета, където няма никакъв въздух. Намираме се във вакуум. Така че, ако започнем в направление x с 5 метра в секунда на дясно, няма да бъдем забавени от въздух или триене, или нещо друго. Законите за движението на Нютон: движещ се обект остава в движение, освен ако не му е повлияно от нетна сила. Няма да има никаква нетна сила в направление x. Тя просто ще продължава да се движи на дясно с 5 метра в секунда. И позицията или разстоянието е точно равно на скоростта, умножена по времето. Нашата скорост е 5 умножено по времето. И разбира се, тя не тръгва от където x е равно на 0. Тука времето е равно на 0. Тя тръгва от x равно на 10. Искате да знаете - това е един вид x от 0, от където тръгва плюс 10. И това би трябвало да бъде малко интуитивно за вас, нали? При време равно на 0, този период се анулира, където x е равно на 10. Това има смисъл. При време равно на 1, трябва да бъдем малко по - ще бъдем 5 метра по-нататък и т.н и т.н. Достатъчно ясно. Това е x като функция на параметъра време. Както вероятно разбрахте, това е видео за параметрични уравнения, не физични. Така че е хубаво да кажем в началото думата параметър. Параметър. И времето има тенденцията да бъде параметър, когато хората говорят за параметрични уравнения. Въпреки че, то може да бъде всичко. Може да бъде радиус или ъгъл или кой знае още какво? Така че, нека да намерим колко е y като функция на времето. y като функция на времето, ще бъде равно на първоначалната позиция върху у или y от 0, което е 50. Ние сме 50 метра нагоре във въздуха. Плюс нашата начална скорост, в посока y. Всъщност ние нямаме никаква начална скорост в посока y. Колата не скача или не се гмурка. Тя просто се движи хоризонтално надясно. И скалата й помага. Така че, няма y скорост. Но ако сте любопитни, това би било y скоростта, умножена по времето. Но тъй като няма никаква скорост у, умножена по времето, поне в началото, няма да слагам нищо там. Плюс земното ускорение, умножено по времето на квадрат върху 2. Искаме да намерим синуса. И точно както знаете, искам да кажа - хубаво е да се докоснем малко до физиката, само за да знаете, от къде идват тези формули и да знаете мотивацията за това, защо бихте използвали изобщо параметрично уравнение. Гравитацията отива надолу в този пример, а надолу в този пример е в посока минус y. y е намаляваща. И реално - знаете, че това не е точно - но гравитацията е обикновено 9.8 метра в секунда на квадрат в повечето учебници. Но за да го опростим, ще кажа, че тя е приблизително 10 метра в секунда на квадрат. Това е колко бързо всичко ще се ускорява надолу на тази планета. Тъй като тя е без въздух, нека приемем, че е планета с малко повече маса, отколкото земята. И тъй като тя отива надолу, нейната посока е отрицателна. Така че, в нашата формула тук, това е нашата първоначална позиция - нямахме никаква скорост умножена по времето, така че няма да слагам това там - минус 10 метра в секунда на квадрат, умножено по t на квадрат върху 2. Можете да гледате клиповете за движението на ракета, за да разберете, от къде имам тези формули там. Но това не е въпросът. Въпросът е да начертаем графиката на това, което се случва с колата и да научете малко за параметричните уравнения. Така че, колко е пътят на тази кола, докато пада от скалата? Нека направим таблица тук. И така, x и y са функция на този трети параметър t. Ще определим различни стойности за t и ще намерим на колко са равни x и y. Просто ще избера няколко произволни t-та. t е равно на 0. t е равно на 1, 2 и 3. При време равно на 0, колко е x? x от 0 - това е 0 - x се равнява на 10 метра. При време равно на 1, колко е х? И това е x от 1, нали? Ако исках да напиша това означение. И така 5 умножено по 1 е 5, плюс 10 е 15. x от 2? 5 по 2 плюс 10, това е 20. И в това има смисъл. Всяка секунда отиваме с 5 метра по-вдясно. Или x се увеличава с 5 метра. Така че, когато t е равно на 3, 15 плюс 10 е 25. Достатъчно лесно. Y е малко по-сложно. И само за да опростя това, това е същото като 5, нали? 10 разделено на 2. Така че, 50 минус 5t на квадрат. Времето е равно на 0, този период се анулира. Просто имаме 50 метра във въздуха. При време равно на 1, 1 на квадрат е 1, умножено по 5 е пет. 50 минус 5 е 45 метра във въздуха. Така ли е? Точно, да, време 1, 50. Точно така. И след това при време равно на 2, 2 на квадрат е 4. 4 по 5 е 20. 50 минус 20 е 30. И след това накрая, при време равно на 3 - казвам накрая просто, защото това е последното число, което избрахме - времето е равно на 3. 3 на квадрат е 9. 9 по 5 е 45. 50 минус 45 е 5. Нека да начертаем тези точки. И така, времето е равено на 0. Това е, което имаме точно там. При време равно на 1, сме в x равно на 15. Това е приблизително, виждате че това е 5, 10, 15 - нека ги направя всичките - 15, 20, 25. И след това оста y - нека да го разграфя, след като сме го почнали - това е около 10, 20, 30, 40, 50. При време равно на 0 сме в 10, 50. Това е тази точка там. При време равно на 1, ние сме в 15, 45. x е 15, y е 45, което е точно там. Така че, това е при t равно на 1. При време равно на 2, или в координати 20, 30. 20, 30 е точно там. Така че, това е при време равно на 2. И след това при време равно на 3, сме в 25, 5. Така че, сме точно там. И ако продължим, в дадена точка ще се ударим в земята. Всъщност, можете да немерите това - слагате това равно на 0 и разбирате точното време, когато ще ударите земята. Всъщност нека го направим. Ако това е равно на 0, 50, получавате t е равно на корен квадратен от 10. Което е малко над 3 секунди. Което има смисъл, нали? След малко повече от 3 секунди, ще се ударим в земята. Но все пак, какъв е пътят на тази кола? Ще изглежда нещо като това. О, тя започва да се ускорява надолу, и след това се хвърля надолу! Удря земята след 3 секунди и нещо. Интересното тук е, че чрез определяне на параметъра, не само получихме кривата - нали? Получихме тази крива, която е един вид половината от парабола, половината от отворена надолу парабола - и можехме действително да премахнем t и просто да получим уравнението за тази парабола. И ние ще направим това в бъдещи клипове. Но това, което беше интересно, правейки го с параметрично уравнение, е че знаем посоката на колата. Ако просто видяхте тази графика без колата и всичко останало, което нарисувах, нямахте да знаете в коя посока колата щеше да падне. Но сега знаем, че тъй като t се увеличава, ние вървим в тази посока. Така че, можем да нарисуваме стрелка тук. Тъй като това е параметрично уравнение, можем да нарисуваме няколко стрелки. И след това най-важното е, че знаем точно къде е колата във всяко едно време t. Можете да заместите t е равно на 1,25 секунди и ще знаете точно къде е колата. Можете да изобразите тези точки и един вид да разберете, че с течение на времето, се ускоряваме надолу. И ето защо, за всяка секунда по-нататък, особено разстоянието у, се отдалечава все повече и повече. Както и да е, просто исках да ви покажа този пример. Въпреки че, това беше добра задача от физиката, намерението ми не беше да ви науча на физика. Намерението ми е да ви дам мотивация зад това, защо изобщо съществуват параметричните уравнения. Тези две неща са параметрични уравнения. Определяме x и y като функция на трети параметър t, вместо да определяме y по отношение на x или x от гледна точка на у, както сме правили всеки друг път. И това е супер полезно. Искам да кажа, можете да си представите, когато имате наистина трудна физична задача, където искате да разбера трите триизмерни позиции на нещо, тогава ще имате x като функция на t, y като функция на t, z като функция на t. Изникват всякакви видове интересни задачи, при използването на параметрични уравнения, не само по физика. Но все пак мисля, че добро място да започнете е мотивацията. Тъй като, когато аз за първи път научих параметричните уравнения бях нещо като - защо ми обърквате хубавия и прост свят на х и y, чрез въвеждане на трети параметър t? Ето защо. Защото можете да разберете пътя на нещата. Можете да разберете посоката на нещо, което се движи по крива и може да намерите в този случай неговата точна позиция във всяко едно време.