Движение по крива: намиране скоростта на промяна

Дадено, е че една частица се движи по кривата х на квадрат по у на квадрат е равно на 16 по такъв начин, че х-координатата се променя с постоянна скорост от –2 единици на минута. На какво е равна скоростта на изменение на минута на у-координатата на частицата, когато частицата се намира в точката (1; 4)? Нека просто да повторим или да запишем отново даденото. Кривата е определена като х на квадрат по у на квадрат е равно на 16. Казват ни го в условието. Казват ни, че х-координатата се променя с постоянна скорост. Подчертавам го. х-координатата се променя с постоянна скорост от –2 единици на минута. Тоест, може да кажем следното. Ще го запиша ето тук, от дясната страна. dx/dt, което е скоростта на изменение на х-координатата спрямо времето t е равна на –2. Дават ни единици – като мярка за разстояние – разделени на минута. Единици на минута. Това, което искат от нас е да намерим, е на какво е равна скоростта на изменение на у-координатата на дадената частица. Нека да го подчертая. На какво е равна скоростта на изменение на у-координатата на частицата? Това, което искат от нас да намерим, е dy/dt. А на какво е равно dy/dt? Условието е, когато частицата се намира в точката (1; 4). Тоест, когато х е равно на 1. Записваме х е равно на 1. А у е равно на 4. Записваме у е равно на 4. Може ли да намерим уравнение, което да включва скоростта на изменение на х спрямо времето t, скоростта на изменение на у спрямо t, х и у? Е, какво ще се получи ако намерим производната на ето това уравнение, което описва кривата? Какво ще се получи ако намерим производната спрямо времето t от двете страни на уравнението? Нека да го запиша. Търсим производната... Всъщност, нека да изтрия това, за да си осигуря малко повече място. Добре. Сега просто мога добавям към записа на уравнението. Нека да намерим производната спрямо t от двете страни на уравнението. Ако в някакъв момент се ентусиазираш, те насърчавам да спреш видеото, и да се опиташ да се справиш самостоятелно. От лявата страна може да разглеждаме израза като произведение от две функции. Може да намерим производната от първата функция, което ще бъде равно на производната на х на квадрат спрямо х. Равно е на 2 по х. Запомни, че не търсим просто производната спрямо х, а търсим производната спрямо t. Следователно трябва да приложим верижното правило. Търсим производната от х на квадрат спрямо х, която е равна на 2 по х. Умножаваме по производната на х спрямо t. Тоест, 2 по х, по dx/dt. След това ще умножим това по втората функция. Тоест, по у на квадрат. Умножено по у на квадрат. Тогава ще се получи плюс първата функция, която е равна на х на квадрат, по производната на втората функция спрямо t. И отново ще приложим верижното правило. Производната от y^2 спрямо у е равна на 2у. Ще го запиша с оранжев цвят. Равно е на 2 по у. След това умножаваме по производната на у спрямо t. Умножаваме по dy/dt. Тогава това ще бъде равно на производната спрямо t от 16, което не се изменя във времето, следователно ще бъде равно на 0. Ето, че я намерихме! Трябва да опростим малко получения израз. Но имаме уравнение, което ни дава връзката между х, производната на х спрямо t, у и производната на у спрямо t. Всъщност просто ще запиша всичко още веднъж, но вече опростено. Получава се 2х по у^2, dx/dt плюс... Всъщност не е нужно да го записвам отново. Всичко, което се опитваме да направим, е да намерим dy/dt от уравнението. Тогава нека просто да заместим дадените стойности в уравнението. Знаем какво искаме да намерим. Какво ще се получи, когато заместим х равно на 1. Знаем, че х в това уравнение е равно на 1. Тоест, това х, х на квадрат, което е равно на 1 на квадрат. х на квадрат просто ще бъде равно на 1. Знаем, че у е равно на 4. Следователно този член ще бъде равен на 16, а ето този ще бъде равен на 8. Знаем, че производната на х спрямо t е равна на –2. Дадено е в условието на задачата. Минус 2. Сега е добър момент да опростим получения израз. Ще се опрости до следното. Нека да видим. Целият този израз ще бъде 2 по 1, по минус 2, което е равно на минус 4, по 16. Това е равно на минус 64, а след това се получава... Ще използвам цвят, който лесно се отличава. След това имаме ето този израз, който просто ще бъде равен на 1 по 8, по dy/dt. Така че това ще бъде равно на 8 по dy/dt. Записваме плюс 8 по производната на у спрямо t, е равно на 0. Прибавяме 64 към двете страни на уравнението и получаваме следното. Ще използвам неутрален цвят. 8 по производната на у спрямо времето t е равно на 64. Разделяме двете страни на 8 и получаваме, че производната на у спрямо t е равна на 64, разделено на 8, което е равно на 8. Ако искаш да провериш мерните единици, също ще бъдат единици на минута. Части от разстоянието за минута. И сме готови!