Пример за движение в равнината: вектор на ускорението

Една частица се движи в равнината 'ху', така че във всеки момент от време t по-голямо или равно на 0, радиус-векторът на частицата e известен. Дадени са х-компонентата и у-компонентата на радиус-вектора, като и двете са функция на времето t. На какво е равен векторът на ускорение на частицата в момент от време t = 3? Нека да означим, че позицията е векторна функция, която е функция на времето. Тоест, представлява вектор. Казали са ни, че х-компонентата на позицията е –3 по t на трета степен, плюс 4 по t на квадрат, а у-компонентата е t на трета степен плюс 2 . Тогава за всеки избран момент от време, по-голямо или равно на 0, което заместим във функцията, ще получим съответните х и у компоненти на радиус вектора. Това е един от видовете означения за вектор. Друг начин да се запише, е чрез инженерно означение. Понякога се записва по следния начин. Хората записват компонентите с означение за единичен вектор. –3t^3 + 4t^2, умножено по единичния вектор в хоризонтално направление i. Плюс t^3 + 2, умножено по единичния вектор във вертикално направление j. Този запис означава същото нещо. Този израз е х-компонентата, а този е у-компонентата. Този израз е компонентата в хоризонтално направление, а този е компонентата във вертикално направление, или у компонентата. Важно е да разбереш, че ако имаш даден радиус-вектор, то векторът на скоростта ще бъде равен на неговата производна. Следователно v(t) ще бъде равно на r'(t). Производната ще бъде равна на следното. Просто следва да намериш съответните производни на всяка от компонентите. Нека го направим. Ако искам да намеря производната на х-компонентата спрямо времето t, просто ще приложа правилото за намиране производна на степен. Получава се 3 по –3, т.е. –9 по t на квадрат, плюс 2 по 4, което е равно на 8, т.е. плюс 8 по t на първа степен. Тоест, плюс 8 по t. А сега да разгледаме у-компонентата. Производната на t^3 спрямо t е равна на 3 по t^2. 3 по t на квадрат, а производната на 2 е равна на 0. Всъщност тогава имам място да запиша 3t^2 с по-големи букви. 3 по t на квадрат. Добре! А ако искаме да намерим функцията на ускорението, или векторната функция, която представлява ускорението като функция на времето, то тази функция ще бъде равна на производната от функцията на скоростта спрямо времето t. Следователно ще бъде равно на следното. Ще бъде равно на следното. Нека да си осигуря още малко място. х-компонентата ще бъде отново производната на х-компонентата. Нека да използвам цвят, който не съм използвал досега. Ще избера ето това зелено. Получава се 2 по –9, което е равно на –18, умножено по t на първа степен, плюс 8. Производната на 8t е равна на 8, когато търсим производната спрямо t. Следва производната на израза в оранжево, 3t^2. В случая просто прилагам правилото за намиране производна на степен отново и отново. 2 по 3 е равно на 6, по t на първа степен, т.е. само 6 по t. И това е резултатът. Успяхме да намерим вектора на ускорението, като диференцирахме два пъти функцията на радиус-вектора. Успях да намеря функцията на ускорението. Сега просто следва да я изчисля за момент от време t = 3. Тогава ускорението в момент от време t равно на 3 ще бъде равно на следното. Минус 18 по 3 плюс 8, точка и запетайка, а след това се получава 6 по 3. И до какво се опростяват получените изрази? Всичко ще бъде равно на следното. Минус 18 по 3 е равно на минус 54, т.е. минус 54 плюс 8, което е равно на минус 46. След това се получава 6 по 3, което е равно на 18. Правилно ли извърших пресмятането? Този израз е равен на –54 плюс 8. –54 плюс 4 ще бъде равно на –50, плюс още 4 е равно на –46. Да, точно това се получава! Минус 46, точка и запетайка 18, или (-–46; 18). Това е радиус-векторът на ускорението в момент от време t равно на 3.