Работен пример: диференциране на полярни функции

Дадена е функция r, за която е известно, че r = 3.θ.sinθ и 0 ≤ θ ≤ 2π (0 и 2π принадлежат към интервала). Графиката на r в полярни координати се състои от две затворени криви, както е показано на фигурата. Нека да помислим защо изглежда по този начин. Когато θ = 0, то r = 0, а когато θ нараства, започва да се оформя първият контур, като продължава така, докато θ = π. Така построихме първия контур, от θ = 0 до θ = π. Вторият контур има по-голяма координата r, така че това са по-големи r стойности и се образува в интервала θ = π до θ = 2π. Сигурно ще попиташ: "Защо не се показва ето тук долу?". Между sinπ и sin2π, ето тази част тук, ще бъде отрицателна, така че това обръща r от тази страна. И дължината на r става все по-голяма и по-голяма, защото имаме 3.θ. Следователно, когато се намираме от π до 2π, построяваме по-голяма окръжност, така че това изглежда логично. Точката P е от графиката на r, ето тук, и лежи на оста y. Намери скоростта на изменение на x-координатата спрямо θ в точката P. Нека да помислим малко за това. Не са ни дали x като функция на θ. Трябва да го открием от данните, които имаме. Съвсем малко припомняне на полярните координати. Ако това е θ, точно тук, това е r, а това ще бъде точка от кривата за това θ. Как ще преминеш към x и y? Може да построиш малък правоъгълен триъгълник ето тук. Знаем от тригонометрията, че дължината на основата ето тук ще бъде равна на хипотенузата по... Нека да го запиша обаче. Това ще е x, т.е. x координатата точно тук ще бъде равна на хипотенузата, което е r, умноженa по cosθ. Ако търсим y координатата като функция на r и θ, ще бъде равно на sinθ, но y не се търси в задачата, а само x координатата. Знаем на колко е равно, но искаме да е функция само на θ. Как да го получим? Това, което може да направим, е да вземем този израз за r, r е изразен като функция на θ, и да го заместим ето тук. Можем направо да напишем, че x(θ) ще бъде равно на r, което само по себе си е 3.θ.sinθ, умножено по cosθ. Искаме да намерим скоростта на изменение на x координатата спрямо θ в дадена точка, така че нека да намерим производната на x спрямо θ. x'(θ) е равно на... имам произведението на три израза ето тук. Имам този пръв израз, който е 3.θ, след това имам sinθ и последно имам cosθ. Може да приложим правилото за намиране на производна на произведение. Ако използваш правилото за производна на произведение за израз с три множителя, просто следваш същия метод, както и ако имаш два множителя. Първият член ще бъде производната на първия израз, т.е. 3, умножено по другите два израза, тоест имаме 3 по sinθ по cosθ, плюс втория член, който ще бъде производната на средния член, умножена по другите два израза, така че ще имаме 3θ, и след това производната на sinθ, което е cosθ, умноженa отново по cosθ. Получаваме косинус на квадрат от тета, (cosθ)^2, ето така. След това имаме производната на последния член, която ще бъде производната на cosθ, умножена по другите два израза. Производната на cosθ e –sinθ, така че ако умножиш –sinθ по 3.θ.sinθ ще получиш –3θ(sinθ)^2. Искаме да оценим това за точката P. Колко е θ в точката P? Точката P се появява на първата крива, така че в точката P θ е равно на... θ ето тук е равно на π/2. Следователно θ = π/2, така че това, което трябва да намерим, е колко е x'(π/2). Това ще бъде равно на 3, умножено по sin(π/2), което е 1, умножено по cos(π/2), което е 0. Така че цялото това е 0, плюс 3π/2, това е 3π/2, умножено по косинус на квадрат от π/2 или (cos(π/2))^2. Това е 0, така че дотук всичко е 0, минус 3π/2, умножено по (sin(π/2))^2. Колко е sin(π/2)? Равно е на 1, повдигаш на квадрат, и отново имаш 1. След опростяване всичко това дава –3π/2. Винаги е добре да направим проверка. Логично ли е скоростта на изменение за x спрямо θ да е –3π/2? Да помислим какво се получава. Когато θ нарасне малко, x определено намалява, така че е логично да има знак минус тук. Следователно ето тук скоростта на изменение за x спрямо θ, е –3π/2. Когато θ нараства, то x със сигурност намалява, което е съвсем логично.