If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Диференциално смятане

Курс: Диференциално смятане > Раздел 5

Урок 7: Анализ на вдлъбнатост и инфлексни точки
Математика
Диференциално смятане
Анализ на функции
Анализ на вдлъбнатост и инфлексни точки
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Изследване на втората производна, за да намерим инфлексни точки

Класна стая на Google
Научи как втората производна на една функция се използва, за да намерим инфлексните ѝ точки. Научи кои често срещани грешки да избягваш в този процес.
Можем да намерим инфлексните точки на една функция, като анализираме втората ѝ производна.

Пример: Намиране на инфлексните точки на f(x)=x5+53x4

Стъпка 1: Намиране на втората производна
За да намерим инфлексните точка на f, трябва да използваме f″:
f′(x)=5x4+203x3f″(x)=20x3+20x2=20x2(x+1)
Стъпка 2: Намиране на всички кандидати
Подобно на критичните точки, това са точки, при които f″(x)=0 или f″(x) е неопределена.
f″ е нула при x=0 и x=−1, и е определена за всички реални числа. Следователно x=0 и x=−1 са нашите кандидати.
Стъпка 3: Изследване на вдлъбнатост и изпъкналост
ИнтервалТест x-стойностf″(x)Извод
x<−1x=−2f″(−2)=−80<0f е вдлъбната ∩
−1<x<0x=−0,5f″(−0,5)=2,5>0f е изпъкнала ∪
x>0x=1f″(1)=40>0f е изпъкнала ∪
Стъпка 4: Намиране на инфлексни точки
След като знаем, че интервалите, в които f е вдлъбната или изпъкнала, можем да намерим нейните инфлексни точки (т.е. където вдлъбнатостта променя посоката си).
  • f е вдлъбната преди x=−1, изпъкнала е след това и е определена в x=−1. Следователно f има инфлексна точка в x=−1.
  • f е изпъкнала преди и след x=0, следователно няма инфлексна точка там.
Можем да потвърдим нашите резултати, като погледнем графиката на f.
Дадена е графиката на функцията f. Оста х е разграфена от минус 4 до 4. Гражиката представлява крива, която започва от квадрант 3, издига се нагоре с намаляваща стръмност приблизително до точка (минус 1,3; 1), спуска се с нарастваща стръмност до около точка (минус 1; 0,7), продължава надолу с намаляваща стръмност до началото на координатната система, издига се нарастваща стръмност и завършва в квадрант 1. Точката (минус 1; 0,7), в която графиката се променя от движение надолу с намаляваща стръмност към движение надолу с намаляваща стръмност е инфлексна точка. Частта от кривата наляво от тази точка е изпъкнала, където кривата се издига с намаляваща стръмност, а после се движи с нарастваща стръмност. Частта от кривата надясно от инфлекната точка е вдлъбната, където кривата се спуска с намаляваща стръмност и после започва да се издига с нарастваща стръмност.
Задача 1
Поискали от Олга да намери къде f(x)=(x−2)4 има инфлексни точки. Това е нейното решение:
Стъпка 1:
f′(x)=4(x−2)3f″(x)=12(x−2)2
Стъпка 2: Решението за f″(x)=0 е x=2.
Стъпка 3: f има инфлексна точка в x=2.
Вярно ли е решението на Олга? Ако не, каква е нейната грешка?
Избери един отговор:

Често срещана грешка: да не проверим кандидатите

Запомни: Не трябва да приемаме, че всяка точка, в която f″(x)=0 (или в която f″(x) е неопределена) е инфлексна точка. Вместо това трябва да проверим нашите кандидати, за да видим дали втората производна променя знака си в тези точки и дали функцията е определена в тези точки.
Задача 2
Поискали са от Робърт да намери къде g(x)=x3 има инфлексни точки. Това е неговото решение:
Стъпка 1:
g′(x)=13x−23g″(x)=−29x−53=−29x53
Стъпка 2: g″(x)=0 няма решение.
Стъпка 3: g няма никакви инфлексни точки.
Вярно ли е решението на Робърт? Ако не, каква е неговата грешка?
Избери един отговор:

Често срещана грешка: да не включим точки, в които производната е неопрелена

Запомни: Нашите кандидати за инфлексни точки са точки, в които втората производна е равна на нула и точки, в които втората производна е неопределена. Пренебрегвайки точки, в които втората производна е неопределена, често ще доведе до грешен отговор.
Задача 3
Поискали са от Том да намери дали h(x)=x2+4x има инфлексна точка. Това е неговото решение:
Стъпка 1: h′(x)=2x+4
Стъпка 2: h′(−2)=0, следователно x=−2 е потенциална инфлексна точка.
Стъпка 3:
ИнтервалПробна стойност на xh′(x)Заключение
(−∞;−2)x=−3h′(−3)=−2<0h е вдлъбната ∩
(−2;∞)x=0h′(0)=4>0h е изпъкнала ∪
Стъпка 4: h е вдлъбната преди x=−2 и изпъкнала след x=−2, следователно h има инфлексна точка в x=−2.
Вярно ли е решението на Том? Ако не, каква е неговата грешка?
Избери един отговор:

Често срещана грешка: да разглеждаме първата производна, вместо втората

Запомни: Когато търсим инфлексни точки, винаги трябва да изследваме къде втората производна променя знака си. Правейки това за първата производна, ще ни даде локалните екстремуми, а не инфлексните точки.
Задача 4
Нека g(x)=x4−12x3−42x2+7.
При кои стойности на x графиката на g има инфлексна точка?
Избери всички правилни отговори:

Искаш ли още да се упражняваш? Опитай това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.