If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Изследване на втората производна, за да намерим инфлексни точки

Научи как втората производна на една функция се използва, за да намерим инфлексните ѝ точки. Научи кои често срещани грешки да избягваш в този процес.
Можем да намерим инфлексните точки на една функция, като анализираме втората ѝ производна.

Пример: Намиране на инфлексните точки на f(x)=x5+53x4

Стъпка 1: Намиране на втората производна
За да намерим инфлексните точка на f, трябва да използваме f:
f(x)=5x4+203x3f(x)=20x3+20x2=20x2(x+1)
Стъпка 2: Намиране на всички кандидати
Подобно на критичните точки, това са точки, при които f(x)=0 или f(x) е неопределена.
f е нула при x=0 и x=1, и е определена за всички реални числа. Следователно x=0 и x=1 са нашите кандидати.
Стъпка 3: Изследване на вдлъбнатост и изпъкналост
ИнтервалТест x-стойностf(x)Извод
x<1x=2f(2)=80<0f е вдлъбната
1<x<0x=0,5f(0,5)=2,5>0f е изпъкнала
x>0x=1f(1)=40>0f е изпъкнала
Стъпка 4: Намиране на инфлексни точки
След като знаем, че интервалите, в които f е вдлъбната или изпъкнала, можем да намерим нейните инфлексни точки (т.е. където вдлъбнатостта променя посоката си).
  • f е вдлъбната преди x=1, изпъкнала е след това и е определена в x=1. Следователно f има инфлексна точка в x=1.
  • f е изпъкнала преди и след x=0, следователно няма инфлексна точка там.
Можем да потвърдим нашите резултати, като погледнем графиката на f.
Дадена е графиката на функцията f. Оста х е разграфена от минус 4 до 4. Гражиката представлява крива, която започва от квадрант 3, издига се нагоре с намаляваща стръмност приблизително до точка (минус 1,3; 1), спуска се с нарастваща стръмност до около точка (минус 1; 0,7), продължава надолу с намаляваща стръмност до началото на координатната система, издига се нарастваща стръмност и завършва в квадрант 1. Точката (минус 1; 0,7), в която графиката се променя от движение надолу с намаляваща стръмност към движение надолу с намаляваща стръмност е инфлексна точка. Частта от кривата наляво от тази точка е изпъкнала, където кривата се издига с намаляваща стръмност, а после се движи с нарастваща стръмност. Частта от кривата надясно от инфлекната точка е вдлъбната, където кривата се спуска с намаляваща стръмност и после започва да се издига с нарастваща стръмност.
Задача 1
Поискали от Олга да намери къде f(x)=(x2)4 има инфлексни точки. Това е нейното решение:
Стъпка 1:
f(x)=4(x2)3f(x)=12(x2)2
Стъпка 2: Решението за f(x)=0 е x=2.
Стъпка 3: f има инфлексна точка в x=2.
Вярно ли е решението на Олга? Ако не, каква е нейната грешка?
Избери един отговор:

Често срещана грешка: да не проверим кандидатите

Запомни: Не трябва да приемаме, че всяка точка, в която f(x)=0 (или в която f(x) е неопределена) е инфлексна точка. Вместо това трябва да проверим нашите кандидати, за да видим дали втората производна променя знака си в тези точки и дали функцията е определена в тези точки.
Задача 2
Поискали са от Робърт да намери къде g(x)=Ax3 има инфлексни точки. Това е неговото решение:
Стъпка 1:
g(x)=13x23g(x)=29x53=29Ax53
Стъпка 2: g(x)=0 няма решение.
Стъпка 3: g няма никакви инфлексни точки.
Вярно ли е решението на Робърт? Ако не, каква е неговата грешка?
Избери един отговор:

Често срещана грешка: да не включим точки, в които производната е неопрелена

Запомни: Нашите кандидати за инфлексни точки са точки, в които втората производна е равна на нула и точки, в които втората производна е неопределена. Пренебрегвайки точки, в които втората производна е неопределена, често ще доведе до грешен отговор.
Задача 3
Поискали са от Том да намери дали h(x)=x2+4x има инфлексна точка. Това е неговото решение:
Стъпка 1: h(x)=2x+4
Стъпка 2: h(2)=0, следователно x=2 е потенциална инфлексна точка.
Стъпка 3:
ИнтервалПробна стойност на xh(x)Заключение
(;2)x=3h(3)=2<0h е вдлъбната
(2;)x=0h(0)=4>0h е изпъкнала
Стъпка 4: h е вдлъбната преди x=2 и изпъкнала след x=2, следователно h има инфлексна точка в x=2.
Вярно ли е решението на Том? Ако не, каква е неговата грешка?
Избери един отговор:

Често срещана грешка: да разглеждаме първата производна, вместо втората

Запомни: Когато търсим инфлексни точки, винаги трябва да изследваме къде втората производна променя знака си. Правейки това за първата производна, ще ни даде локалните екстремуми, а не инфлексните точки.
Задача 4
Нека g(x)=x412x342x2+7.
При кои стойности на x графиката на g има инфлексна точка?
Избери всички правилни отговори:

Искаш ли още да се упражняваш? Опитай това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.