Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:9:16

Видео транскрипция

Дадена е функцията g от х. Изразена е като полином от четвърта степен. Искам да помисля за интервалите, в които функцията g или е изпъкнала, или е вдлъбната. Нека сега само да си припомним как изглеждат тези неща. Изпъкнала, изпъкнала функция. Имаме интервал, където функцията е изпъкнала. Това е интервал, в рамките на който наклонът е нарастващ и изглежда като U, което се отваря нагоре ето така. Може да видиш, че наклонът ето тук е отрицателен, а след това, когато х нараства, става все по-малко отрицателен. Всъщност доближава се до 0, преминава през нулата и става малко положителен, все повече положителен, дори още повече положителен. Може да видиш, че наклонът постоянно нараства. И ако мислиш за него в смисъла на производните, това означава, че първата производна нараства в рамките на този интервал. За да бъде първата производна нарастваща, в този интервал, то втората производна f'' от х... Всъщност нека да я запиша като g, защото използваме g в този пример. За да бъде първата производна нарастваща, то... Нека да го запиша по следния начин. И така, да бъде изпъкнала означава, че първата производна е нарастваща. Нарастваща, което означава, че втората производна е по-голяма от 0. А вдлъбната функция е обратното. Вдлъбнатата функция е в интервал... или ще бъде вдлъбната в рамките на даден интервал, когато наклонът е намаляващ. Тоест g' от х е намаляваща, или може да се каже, че втората производна, е по-малка от 0. И отново ще го изобразя ето тук. Когато х е по-малко число, изглежда, че имаме положителен наклон. След това става по-малко положителен и все по-малко положителен, като се доближава до 0, и достига до 0. Тогава става отрицателен, след това още повече отрицателен, а след това дори още повече отрицателен. Както може да видиш, наклонът постоянно намалява, когато х нараства тук. За да намерим интервалите, където g или е изпъкнала, или вдлъбната, това, което трябва да направим, е да намерим втората производна на функцията g. След това нека да помислим за точките, в които втората производна се променя от положителна към отрицателна или от отрицателна към положителна. Това ще бъдат местата, където втората производна или не е дефинирана, или където втората производна е равна на 0. Нека да видим какво се случва в междинните интервали. Тогава ще знаем в кои интервали функцията е изпъкнала или вдлъбната. Нека да го направим. Нека да намерим първата производна g' от х. Просто ще приложа правилото за намиране производна на степен няколко пъти. 4 по минус 1 е минус 4 по х на трета степен, тук ще се получи 2 по 6, плюс 12 по х на първа степен, което може да се запише само като х. След това следва минус 2, бих могъл да кажа минус 2 по х на нулева степен, което е просто равно на –2. След това производната на –3, т.е. от константа, което е просто равно на 0. А сега мога да намеря втората производна g'' от х. Ще се получи 3 по –4, което е –12 по х на квадрат. Намаляваме степента, т.е. плюс 12. Да видим. Къде този израз не е дефиниран? Втората производна е просто израз от втора степен, който ще бъде дефиниран за всяка стойност на х. Следователно няма да бъде недефиниран в нито една точка. Точки, които ни интересуват, в които бихме могли да преминаваме от отрицателна към положителна, или от положителна към отрицателна втора производна, има там, където този израз може да е равен на 0. Нека да разберем кои са те. Нека да намерим къде –12 по х на квадрат плюс 12 е равно на 0. Може да извадим 12 от двете страни на уравнението и да получим –12х^2 е равно на –12. Разделяме двете страни на –12. Получава се х^2 е равно на 1, или х може да бъде равно на плюс или минус, т.е. х може да бъде равно на плюс или минус квадратен корен от 1, което, разбира се, е равно на 1. Следователно втората производна в точките плюс или минус 1 е равна на 0. Следователно или между плюс или минус 1, или от коя да е страна на тези точки, функцията ще бъде изпъкнала или вдлъбната. Нека да помислим върху това. За да помислим върху това, ще начертая една числова ос. Нека да избера приятен, успокоителен цвят. Добре, това е приятен, успокоителен цвят. Нека да направя числовата ос малко по-голяма. Ето така, нека да използваме пространството на екрана. Добре, ако това е равно на 0, а това е минус 1, това е минус 2, това е плюс 1, а това е плюс 2. Знаем, че в точките х = –1 и х = 1 втората производна е равна на 0. Нека да помислим какво се получава между тези места, за да проверим дали втората производна е положителна или отрицателна. Тогава ще може да заявим къде функцията е изпъкнала или вдлъбната. И така, в този първи интервал ето тук – това е интервалът от... това е интервалът, където достигаме от минус безкрайност до –1. Нека просто да опитаме с някаква стойност от този интервал, за да проверим дали втората производна е положителна или отрицателна. Нека да видим. Подходящо число от там ще бъде –2. Намира се в този интервал, така че нека да намерим g'' от –2, което е равно на –12 по 4, защото –2 на квадрат е равно на плюс 4. Тоест, получава се –48 плюс 12, което е равно на –36. Важното нещо тогава, което трябва да разберем, е, че ето тук g'' е отрицателна – в целия този интервал – защото не преминава през 0, или не е непрекъсната във всяка една от тези точки. Ето защо избрахме този интервал. В целия този интервал втората производна g'' от х е по-малка от 0. Което означава, че в целия този интервал функцията е вдлъбната. Вдлъбната. Вдлъбната функция. Нека сега да разгледаме интервала между –1 и 1. Това е отвореният интервал между –1 и 1. Нека да изберем стойност от този интервал. Нека просто да изберем 0, за да са по-лесни изчисленията. g'' от 0 е равно... когато х е равно на 0, то този член е равен на 0, следователно просто на 12. Важното нещо, което трябва да разбереш, е, че втората производна в този интервал е по-голяма от 0, така че функцията е изпъкнала. Функцията е изпъкнала в този интервал между –1 и 1. Инакрая нека да разгледаме интервала, където х е по-голямо от 1. Това е интервалът от 1 до плюс безкрайност, ако искаме да го разглеждаме така. Нека просто да изберем една стойност. Нека да изберем g'' от 2, защото е част от интервала. g'' от 2 ще бъде равно на същото нещо като g'' от –2, защото дали имаш –2 или плюс 2, го повдигаш на квадрат и е равно на 4. Следователно ще се получи 4 по –12, което е равно на –48, плюс 12, което е равно на –36. Този израз е равен на –36 и отново, в този интервал, функцията е вдлъбната. Начертах всичко това предварително. Нека да видим това, което дотук сме установили, дали съответства на начина, по който реално изглежда графиката. Успяхме да достигнем до тези изводи за вдлъбнатост без да чертаем графиката на функцията. Сега обаче е удовлетворяващо да погледнем към графиката, и искам да видя дали може да направя така, че да съвпаднат интервалите. Действително, това е доста близко съответствие. Добре, ето тук. И така, това е. Всъщност мога да направя изображението малко по-малко. Нека да преместя моето работно пространство. Заявявам, че функцията е вдлъбната между минус безкрайност, през цялото време, докато не достигне до –1. През цялото време, докато не достигне до тази точка ето тук. През цялото време, докато не достигне до тази точка. Това изглежда добре. Изглежда, че наклонът постоянно намалява, през цялото време, докато не достигне до –1, а след това започва да нараства. Наклонът започва да нараства от там, от там и през цялото време, докато не премине през х... Ще прекъсна линията и няма да оцветявам тази точка. Ето тук наклонът е нарастващ. Нека да го направя със същия цвят. Наклонът е нарастващ, нарастващ, нарастващ, нарастващ, нарастващ през цялото време, докато не достигне до х = 1. Тогава наклонът отново започва да намалява. И функцията отново се връща към вдлъбната. О, исках да направя това с оранжево! Функцията отново се връща към вдлъбната. Това, което успяхме да открием за функцията, като просто намерихме производните ѝ, и използвайки малко алгебра, може много ясно да видим, когато наблюдаваме графиката.