Грешки при намиране на инфлексни точки: да не проверим кандидатите

От Олга се изисква да намери къде функцията f(x) = (x – 2)^4 има инфлексни точки. Това е решението ѝ. След като разполагаме с решението на Олга, от нас се изисква да проверим дали е вярно. Ако не е вярно, то каква грешка е допуснала? Сложи видеото на пауза и провери какво можеш да откриеш. Нека да проследим решението ѝ. Тук намира първата производна. Така че трябва да се приложи 'верижното правило' (производна на съставна функция). Ще се получи 4(х – 2)^3 умножено по производната на (х – 2), което е равно на 1. Отбелязваме го като вярно. След това намираме производната на този израз. Ще се получи 3 по 4, което е 12, умножено по (х – 2)^2 умножено по производната на x, което е точно 1. Резултатът е точно това, което тя е получила, тоест 12(х – 2)^2 Отбелязваме и това като вярно, така че първата част на Олга изглежда добре. Втора част, където за решението на втората производна, приравнена на 0, се получава x = 2. Това е вярно. Втората производна е 12(х – 2)^2, която приравняваме на нула. Това ще е изпълнено, само ако x = 2. Втората част е вярна. В част три Олга отбелязва, че f има инфлексна точка за x = 2. Тя основава решението си на факта, че втората производна е нула, когато x = 2. Последното тя основава на факта, че f''(2) = 0. Част три ме притеснява, защото фактът, че втората производна е 0, когато x = 2, прави 2 подходящо число за проверка. Но преди това не може да твърдим, че за x = 2 има инфлексна точка. Инфлексна точка е мястото, където видът на функцията се променя от изпъкнала към вдлъбната или от вдлъбната към изпъкнала. Преведено на езика на втората производна, означава, че знакът ѝ се променя, като минаваме от x < 2 към x > 2. Това трябва да се провери, защото не винаги случаят е такъв. Нека да го проверим. Нека да разгледаме няколко интервала. Нека да отбележим интервала минус безкрайност; две (-∞; 2) и отделно интервала две; плюс безкрайност (2; +∞). Може да използваме няколко "тестови стойности" за проверка. Вземаме предвид знака на втората производна, и като използваме това, можем да направим извод за изпъкналостта на f. Нека да разгледаме какво се случва. Можем да вземем стойност за проверка. Нека да изберем числото 1 от този интервал и числото 3 от другия интервал. Изчисляваме и намираме, че 1 – 2 = –1, повдигнато на квадрат, е равно на 1. В такъв случай втората производна f''(1) = 12. Резултатът ще е положителен и ако се избере стойност 3. Получава се (3 – 2)^2 = 1 и умножено по 12, което също е положителна стойност. За функцията излиза, че е изпъкнала. За проверените стойности от всяка страна на числото 2 се получава, че знакът на втората производна е положителен. В такъв случай вероятно ни трябват по-близки стойности, но ако се разгледа по-внимателно втората производна, можем да открием, че тя никога няма да е отрицателна. Това е валидно за всяка стойност на x ≠ 2. Дори и ако x – 2 < 0, то се повдига на квадрат, което прави целия израз положителен. След това се умножава с положително число. Така че за всяка стойност x ≠ 2, знакът на втората производна е положителен. Това означава, че функцията е изпъкнала. Следователно нямаме инфлексна точка за х = 2, защото липсва промяна на знака, като преминаваме от стойности на x, по-малки от 2, към стойности на x, хо-големи от 2. Втората производна не променя знака си. Отбелязваме, че част три не е вярна. Следователно липсва инфлексна точка за x = 2, защото втората производна не променя знака си в точката x = 2. Следователно вдлъбнатостта на функцията не се променя.