Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Преговор на абсолютни минимуми и максимуми

Прегледай как използваме диференциално смятане, за да намерим абсолютните екстремуми (минимум и максимум).

Как да намеря абсолютните (глобалните) максимуми и минимуми с диференциално смятане?

Абсолютен (глобален) максимум е точка, в която функцията приема най-високата си стойност. Аналогично абсолютен (глобален) минимум е точка, в която функцията приема най-ниската си стойност.
Око приемем, че вече знаеш как да намираш относителен (локален) минимум и максимум, намирането на абсолютните екстремуми включва още една стъпка: разглеждане на краищата в двете посоки.
Искаш ли да научиш още за абсолютните екстремуми и диференциалното смятане? Разгледай това видео.

Намиране на абсолютни екстремуми в затворен интервал

Теоремата за екстремалните стойности гласи, че една непрекъсната функция трябва да има стойности на абсолютен минимум и максимум в затворен интервал. Тези екстремуми са получени или от локален екстремум в интервала, или от крайните точки на интервала.
Например да намерим абсолютния екстремум на h(x)=2x3+3x212x в интервала 3x3.
h(x)=6(x+2)(x1), следователно критичните точки са x=2 и x=1. Те разделят затворения интервал 3x3 на три части:
ИнтервалСтойност на xh(x)Заключение
3<x<2x=52h(52)=212>0h е растяща
2<x<1x=0h(0)=12<0h е намаляваща
1<x<3x=2h(2)=24>0h е растяща
Сега разглеждаме критичните точки и краищата на интервала:
xh(x)ПредиСледЗаключение
39Минимум
220Максимум
17Минимум
345Максимум
В затворения интервал 3x3 точките (3;9) и (1;7) са локални минимуми, а точките (2;20) и (3;45) са локални максимуми.
(1;7) е най-ниският локален минимум, следователно той е абсолютният минимум, а (3;45) е най-високият локален максимум, следователно той е абсолютен максимум.
Забележи, че абсолютният минимум е получен в интервала, а абсолютният максимум е получен в края.
Задача 1
f(x)=x33x2+12
Каква е стойността на абсолютния максимум на f в затворения интервал [2;4]?
Избери един отговор:

Искаш ли да решиш още подобни задачи? Разгледай това упражнение.

Намиране на абсолютни екстремуми в цяло дефиниционно множество

Не всички функции имат абсолютен максимум или минимум в целите си дефиниционни множества. Например линейната функция f(x)=x няма абсолютен минимум или максимум (може да толкова ниска или толкова висока, колкото си иска).
Обаче някои функции имат абсолютни екстремуми в дефиниционното си множество. Да анализираме функцията g(x)=xe3x, например.
g(x)=e3x(1+3x), следователно единствената ни критична точка е x=13.
ИнтервалСтойност на xg(x)Заключение
(;13)x=1g(1)=2e3<0g е намаляваща
(13;)x=0g(0)=1>0g е растяща
Нека си представим, че вървим по графиката на g, като започваме най-отляво (от ) и стигаме най-вдясно (до +).
Ще почнем да вървим надолу и надолу, докато стигнем x=13. Тогава ще почнем да вървим само нагоре. Следователно g има абсолютен минимум в x=13. Функцията няма абсолютен максимум.
Искаш ли да научиш повече за абсолютните екстремуми в цялото дефиниционно множество? Гледай това видео.
Задача 1
g(x)=ln(x)x
Каква е стойността на абсолютния максимум на g ?
Избери един отговор:

Искаш ли да решиш още подобни задачи? Разгледай това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.