Изследване на вдлъбнатост и изпъкналост (графично)

Функцията f(x) е показана отдолу - Обозначете интервал, където f'(x) или първата производна спрямо x по-точно първата производна на f спрямо x е по-голяма от 0 и f''(x) (f двоен прим от хикс) или втората производна на f спрямо x е по-малка от 0 Нека помислим какво ни казват Търсим място, където първата производна е по-голяма от нула Това означава, че наклона на допирателната линия е положителен. Което означава, че функцията расте в този интервал. Нека помислим тук В този цял регион тук е ясно, че функцията е намаляваща докато не стигне до тук, където наклонът е нулев А след това функцията започва да расте отново до ето тази точка тук, където наклонът пак е 0 И след това функцията отново намалява Тук ни става ясно, че отговорът ще бъде част от ето този интервал тук. Другото, което ни казват е, че втората производна е по-малка от нула Това означава, че самият наклон - независимо от това дали е положителен или отрицателен - всъщност намалява Търсим част, където наклонът се ?вдлъбва надолу? Наклонът може да е положителен, но ще става все по-малко и по-малко положителен Така че търсим място, където наклонът е положителен, Но става все по-малко положителен Ако погледнем ето тук - наклонът е положителен, но расте Става все по-стръмен и по-стръмен - И след това изведнъж става по-малко стръмен и по-малко стръмен докато не стигнем до плоската част, където е 0 Така че ако искаме да изберем интервал трябва да бъде ето този интервал тук. Наклонът е положителен, функцията очевидно се увеличава Но се увеличава все по-бавно и по-бавно Нека направим още един пример Функцията f(x) е представена отдолу Обозначете интервал, където f'(x)>0 което е същото нещо, където фунцкията расте Но расте все по-бавно и по-бавно Функцията ни расте в ето този цял регион и виждаме, че е много стръмна ето тук след което се изравнява малко по малко и се доближава все повече до 0 - наклонът на допирателната линия или скоростта, с която се увеличава функцията Така че аз бих избрал нещо, което е в този интервал тук