If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Обосноваване, използвайки втората производна

"Математическото мислене" с втората производна на функция могат да се използват, за да се обосноват твърдения за изпъкналост и вдлъбнатост на първоначалната функция и за инфлексните ѝ точки.
Научихме, че първата производна f ни дава информация за това къде първоначалната функция f расте или намалява, и къде f има екстремуми.
Втората производна f ни дава информация за изпъкналост и вдлъбнатост на първоначалната функция f и за това къде f има инфлексни точки.

Нека преговорим какво е вдлъбнатост и изпъкналост.

Една функция е изпъкнала, когато наклонът ѝ е растящ. Графично: графика, която е изпъкнала, има форма на чаша, .
Графиката на f е изпъкнала (забележи формата ѝ: ). Забележи как когато x расте, наклонът е растящ.
Аналогично една функция е вдлъбната, когато наклонът ѝ е намаляващ. Графично: графика, която е вдлъбната, има форма на шапка, .
Графиката на g е вдлъбната (забележи нейната форма: ). Забележи как когато x расте, наклонът е намаляващ.
Инфлексна точка е когато функцията променя изпъкналостта си (вдлъбнатостта си).

Как f ни информира за изпъкналостта на f

Когато втората производна f е положителна, това означава, че първата производна f е растяща, което означава, че f е изпъкнала. Аналогично отрицателната f означа, че f е намаляваща и f е вдлъбната.
fff
положителна +растяща изпъкнала
отрицателна намаляваща вдлъбната
пресичащта оста x (промяна на знака)екстремум (промяна на посоката)инфлексна точка (промяна на изпъкналост)
Ето един графичен пример:
fff
Забележи как f е вдлъбната отляво на x=c и е изпъкнала вдясно от x=c.
Задача 1
Нека f е двойно диференцируема функция. Това е графика на нейната втора производна f.
В кой интервал f е винаги изпъкнала?
Избери един отговор:

Често срещана грешка: Да объркаме връзката между f, f и f

Запомни, че за да бъде изпъкнала функцията f, първата производна f трябва да е растяща, а втората производна f трябва да е положителна. Други поведения на f, f и f може да не са обвързани.
Например в първа задача по-горе втората производна f е изпъкнала в интервала [8;2] но това не означава, че функцията f е изпъкнала в този интервал.
Задача 2
Нека h е двойно диференцируема функция. Това е графика на нейната втора производна, h.
Къде функцията h има инфлексна точка?
Избери един отговор:

Искаш ли да се упражняваш още? Опитай това упражнение.

Често срещана грешка: погрешно да тълкуваме показаната графична информация

Представи си ученик, който решава Задача 2 по-горе, мислещ че графиката е на първата производна на h. В този случай h ще има инфлексна точка в A и B, защото това са точките, в които h си променя посоката. Този ученик ще греши, защото това е графиката на втората производна, а верният отговор е D.
Не забравяй винаги да се уверяваш, че разбираш дадената информация. Графиката на функцията f ли ни е дадена, на първата производна f или на втората производна f?
Задача 3
Начертани са двойно диференцируемата функция g и нейната втората производна g.
Четирима ученици трябвало да дадат подходяща математическа обосновка за факта, че g има инфлексна точка в x=2.
Можеш ли да свържеш коментарите на учителя с обосновките?
1

Използване на втората производна за определяне дали екстремумът е минимум или максимум

Представи си, че ни е дадена функция f, която има екстремум в x=1, и че тя е изпъкнала в интервала [0;2]. От тази информация можем ли да кажем дали този екстремум е минимум или максимум?
Отговорът е ДА. Спомни си, че една функция, която е изпъкнала, има форма на чаша . В тази форма една крива може да има само един минимум.
Аналогично, ако една функция е вдлъбната, когато тя има екстремум, този екстремум трябва да е максимум.
Задача 4
Начертани са двойно диференцируемата функция h и нейната втора производна h.
Ако е дадено, че h(4)=0, коя е подходящата математическа обосновка за факта, че h има локален максимум в x=4?
Избери един отговор:

Искаш ли още да се упражняваш? Опитай това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.