If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: Диференциално смятане > Раздел 5

Урок 10: Връзка между f, f', и f''
Математика
Диференциално смятане
Анализ на функции
Връзка между f, f', и f''
© 2024 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Обосновки, използвайки първата производна

Класна стая на Google
Нека разгледаме отблизо как поведението на една функция е свързано с поведението на нейната производна. Този тип мислене се нарича "математическо мислене." Научи как да го прилагаш правилно.
Производната f′ ни дава много интересна информация за първоначалната функция f. Хайде да разгледаме.

Как f′ ни казва къде f е растяща и къде е намаляваща

Спомни си, че за една нарастваща функция при нарастване на стойността на x нараства също и стойността на функцията.
Графично това означава, че колкото повече отиваме надясно, толкова повече графиката се движи нагоре. По подобен начин една намаляваща функция се движи надолу, като отиваме надясно.
Дадена е графиката на функцията f. Оста х не е номерирана. Графиката представлява крива, която започва в квадрант 3, издига се нагоре, т.е. функцията нараства, достига максимум в квадрант 2, спуска се надолу или намалява, докато достигне точка в квадрант 4, след което продължава надолу до достигане на минимум в квадрант 4, после се издига нагоре или нараства и завършва в първи квадрант 1.
Сега да предположим, че нямаме графиката на функцията f, а имаме графиката на нейната производна f′.
Дадена е графиката на функцията f прим. Оста х не е номерирана. Графиката представлява U-образна крива, която започва в квадрант 2, спуска се надолу до минимум през отрицателната част на оста x до точка в квадрант 4, издига се с изпъкналост през положителната ос х и завършва в първи квадрант 1.
Все още можем да кажем дали функцията f е растяща или намаляваща според знака на производната f′:
  • Интервалите, в които производната f′ е полижителна (т.е. над оста x), са интервалите, в които f е растяща.
  • Интервалите, в които f′ е отрицателна (т.е. под оста x), са интервалите, в които f е намаляваща.
Графиката на функцията f прим има 3 оцветени части. Частта от графиката, която се спуска надолу в квадрант 2 е частта, в която f прим е положителна и функцията f нараства. Частта от графиката, която се спуска надолу в квадрант 3, а после се издига в квадрант 4, е частта, в която f прим е отрицателна и f е намаляваща. Частта от графиката, която се издига в квадрант 1 е частта, в която f прим е положително и f нараства.
Когато обосноваване свойствата на една функция, основавайки се на нейната производна, ние използваме математическo мислене.
Задача 1
Това са две валидни обосновки защо функцията f е растяща:
A. Когато стойността на x расте, стойността на f също расте.
B. Производната на f винаги е положителна.
Коя от изброените е обосновка, основана на математическия анализ?
Избери един отговор:

Задача 2
Диференцируемата функция f и нейната производна f′ са начертани.
Каква е подходящата обосновка, основана на математическия анализ, за факта, че f е намаляваща, когато x>3?
Избери един отговор:

Често срещана грешка: Да не правим връзка между графиката на производната и нейния знак.

Когато работим с графиката на производната, е важно да запомним, че тези два факта са еквивалентни:
  • f′(x)<0 в определена точка или интервал.
  • Графиката на f′ е под оста x в тази точка/интервал.
(Същото се отнася за f′(x)>0, и че ще е над оста x.)

Как f′ ни казва къде f има локален минимум или максимум

За да може функцията f да има локален максимум в конкретна точка, тя трябва да расте преди тази точка и да намалява след тази точка.
В самия максимум функцията не е нито растяща, нито намаляваща.
Дадена е графиката на функцията f. Оста х не е номерирана. Графиката представлява крива, която започва в квадрант 3, издига се нагоре, т.е. функцията нараства, достига локален максимум в квадрант 2, спуска се надолу или намалява, докато достигне точка в квадрант 4, след което продължава надолу до достигане на минимум в квадрант 4, после се издига нагоре и завършва в първи квадрант 1.
В графиката на производната f′ това означава, че графиката пресича оста x в точката, така че графиката да е над оста x преди точката и под оста x след точката.
Дадена е графиката на функцията f прим. Оста х не е номерирана. Графиката представлява U-образна крива, която започва в квадрант 2, спуска се надолу до минимум през отрицателната част на оста x, където f има локален максимум, до точка в квадрант 4, издига се с изпъкналост през положителната ос х и завършва в първи квадрант 1.
Задача 3
Диференцируемата функция g и нейната производна g′ са начертани.
Коя е подходяща обосновка, основана на математическия анализ, за факта, че g има точка на локален минимум в x=−3?
Избери един отговор:

Често срещана грешка: да объркваме връзката между функцията и нейната производна

Както видяхме, знакът на производната отговаря на посоката на функцията. Обаче не можем да правим никакви изводи, основани на други видове поведение.
Например фактът, че производната е растяща, не означава, че функцията е растяща (или положителна). Освен това фактът, че производната има локален максимум или минимум при конкретна стойност на x не означава, че функцията има локален максимум или минимум в тази стойност на x.
Задача 4
Диференцируемата функция h и нейната производна h′ са начертани.
Поискали от четири ученици да дадат подходяща обосновка, основана на математическия анализ за факта, че h е растяща, когато x>0.
Можеш ли да свържеш коментарите на учителя с обосновките?
1

Искаш ли още упражнения? Опитай това упражнение.

Често срещана грешка: да използваме неясни или неспецифични изрази.

Има много фактори, които влияят, когато разглеждаме връзката между една функция и нейната производна: самата функция, производната ѝ, посоката на функцията, знакът на производната и други. Важно е изключително ясно да се изразяваме във всеки един момент.
Например в Задача 4 по-горе вярната обосновка, основана на математическия анализ, за факта, че h е растяща, е че h′ е положителна, или че h′ е над оста x. Една от обосновките на учениците беше "Тя е над оста x." Обосновката не уточнява какво е над оста x: Графиката на h ли? Графиката на h′ ли? Може би нещо друго? Без да сме конкретни, такава обосновка не може да се приеме.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.