Графично представяне на връзката между f, f' и f'' (друг пример)

Изобразени са графиките на три функции, като знаем, че една от тях е f, другата е първата ѝ производна, а третата е втората ѝ производна. Не знаем обаче коя функция коя е. Както винаги, постави видеото на пауза и провери можеш ли да отговориш. Подходът, който ще приложа, е да погледна всяка от графиките и да помисля как изглежда производната ѝ. За първата графика виждаме, че производната, тоест наклонът на допирателната (ъгловият коефициент), ще бъде леко отрицателен, след което става все повече и повече отрицателен. Като клони към тази вертикална асимптота ето тук и изглежда, че клони към минус безкрайност. Ето тук производната всъщност ще е малко по-малка от 0, но след това става все повече и повече отрицателна, и тогава клони към минус безкрайност. Следователно ще има подобна форма на самата графика. Поне отляво на тази вертикална асимптота Какво става обаче отдясно на вертикалната асимптота? Отдясно на вертикалната асимптота изглежда, че наклонът на допирателната е силно отрицателен, но след това става все по-малко и по-малко отрицателен. Изглежда, че клони към 0. От тази страна производната започва силно отрицателна, а след това производната сякаш клони към асимптотата, т.е. към 0. Като вземем предвид това, което току-що скицирах, изглежда сякаш дясната графика е добър кандидат за производна на лявата графика. Може би ще кажеш: Защо да не е синята графика? Забележи, че ето тук синята графика е положителна. Ако това беше производната на лявата графика, това означава, че ето тук графиката трябва да има положителен наклон, но няма положителен наклон. Той е слабо отрицателен и става силно отрицателен. Ето тук функцията е малко отрицателна и след това става много отрицателна. Така че може би това е функцията, нека да я означим с f, а може би това е f'. Това ето тук е f.' Нека сега да разгледаме средната графика. Как ще изглежда производната ѝ? Ето тук наклонът е слабо отрицателен, а след това става все повече и повече отрицателен. Тогава производната ѝ може да е следното. Трябва да бъде слабо отрицателна, а след това става все повече и повече отрицателна, като клони към тази вертикална асимптота. Тогава от дясната страна на вертикалната асимптота производната е много положителна тук, а след това става все по-малко и по-малко положителна. Тогава от началото производната ще бъде много положителна, а след това става все по-малко и по-малко положителна. Изглежда, че наклонът клони асимптотично към 0, така че графиката може да има следния вид. Лявата графика ето тук изглежда много повече като това, което току-що скицирах като кандидат за производна на синята графика, за тази графика в средата. Мога да кажа, че това е f, а това е производната ѝ, което означава f', и тогава вече сме установили, че дясната графика е производна на лявата, тоест тя е производна на f'. Самата тя не е f', а е втората производна f''. Уверен съм в това решение. Просто като допълнителна мярка може да помислим как ще изглежда производната на тази функция. Тук наклонът е слабо отрицателен, но след това става все повече и повече отрицателен, така че производната ще има подобна форма тук. Тогава ето тук производната ще бъде много положителна и става все по-малко и по-малко положителна. Тоест започва много положителна и става все по-малко и по-малко положителна. Така че като общ вид всъщност прилича много на тази първа графика. Причината обаче, поради която няма да заявя, че първата графика е производна на дясната графика, е, че дясната графика беше единственият подходящ кандидат, който имахме, за производна на лявата графика. Следователно съм сигурен в това, което избрахме, тоест, че средната графика е f, лявата е първата ѝ производна, а дясната е втората ѝ производна.