Инфлексни точки от графики на функции и производни

В настоящия урок ще извършим графично изследване за инфлексни точки, което е разгледано в детайли и в други уроци. Първото нещо, което трябва да разбереш, е, че инфлексна точка е точка от графиката, където наклонът (ъгловият коефициент) се променя от намаляващ към нарастващ или от нарастващ към намаляващ. Дадена е графиката на функция и нека да начертая наклона на тангентата в различни точки. За x = –2 тангентата изглежда по следния начин. Можеш да видиш наклона ѝ. След това с нарастването на x може да видиш, че наклонът е положителен, но намалява. Тогава достига до 0 и става отрицателен и продължава да намалява. Изглежда, че намалява, докато не достигне близо до x = –1, след което започва да нараства. В точката x = –1 се получи нещо интересно, което е добър показател. Показваме го графично. Не го доказваме. Тази точка тук обаче е инфлексна, така че нека я означа. Нека ти покажа отново, след като точката е означена. За x = –2 имаме положителен наклон. Той намалява, намалява, намалява. Отрицателен е, все още намалява, достига x = –1 и тогава започва да нараства отново. Така може да се открият инфлексни точки само по вида на функцията. Можеш обаче да ги откриеш и като погледнеш първата производна. Инфлексната точка е там, където наклонът се променя от нарастващ към намаляващ или от намаляващ към нарастващ. Производната е просто наклонът на тангентата. Това точно тук е производната на първоначалната функция със син цвят. Тук може да се наблюдават интересни неща. Забележи какво се случва. Производната е намаляваща, което означава, че наклонът на тангентата на първоначалната функция е намаляващ. Това е видимо. Забележи, че докато производната е намаляваща ето тук, наклонът намалява. Наклонът е положителен. Наклонът е положителен, но намаляващ. След това става отрицателен, но намаляващ през цялото време, докато достигне точката, в която x = –1. Нека отново да преминем през това. Наклонът е положителен и намаляващ и точно тук продължава да намалява, но тогава изведнъж става отрицателен. Продължава да намалява през цялото време докато x = –1, след което наклонът започва да нараства. Следователно производната нараства, което означава, че наклонът на тангентата на първоначалната функция започва да нараства. Тази точка е интересна. Един от начините да се открие инфлексна точка, като използваме първата производна, е да търсим точка, в която има локален минимум или максимум. На това място производната променя направлението си от нарастваща към намаляваща или от намаляваща към нарастваща, което ни подсказва, че там вероятно има инфлексна точка. Нека да разгледаме втората производна. Това е производната на производната. Мога да увелича, за да разгледаш цялата картина, защото в момента не може да видиш цялата картина. Нека да увелича още малко така че наистина да видиш за какво става дума. Какво е интересното тук? Изглежда сякаш за x = –1 втората производна пресича оста x. Нека да го означим. Точно тук пресича оста x, което е точно мястото, в което има инфлексна точка. Това има смисъл, защото ако втората производна се променя от отрицателна към положителна, то това означава, че първата производна се променя от намаляваща към нарастваща, което означава, че наклонът на тангентата на първоначалната функция се променя от намаляващ към нарастващ. Забелязваме това отново и отново. Ето тук има смяна от намаляване към нарастване. Важно е да се разбере, че втората производна е необходимо не да достига до оста x, а да я пресича. Може би ще попиташ: "Ами тази точка ето тук (2; 0)?" Втората производна достига до оста x в нея, но не я пресича. Тоест първата производна не се променя от нарастваща към намаляваща. Важни изводи в този случай са, че можеш да откриеш инфлексна точка или от графиката на функцията, или от графиката на производната, или от графиката на втората производна. На първоначалната функция искаме просто да изследваме наклона на тангентата и да помислим къде се променя от намаляващ към нарастващ. Или обратно, от нарастващ към намаляващ. Ако наблюдаваш първата производна, трябва просто да следиш за точки на локален минимум или максимум. Ако наблюдаваш втората производна, която е в оранжев цвят, трябва да откриeш в коя стойност пресича оста x. Не само да достига до нея, но и да я пресича.