Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Обосноваване, използвайки втората производна: инфлексна точка

Можем да стигнем до извода дали една функция има инфлексна точка, като разгледаме къде втората производна променя знака си.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

На графиката са показани двойно диференцируемата функция g и втората ѝ производна g''. Можеш да видиш ето тук. В момента работя върху статия от Кан Академия, която се нарича "Доказателство чрез използване на втора производна" Наблюдаваме функцията g. Забелязваме, че тук е изобразена не първата, а втората производна, в кафяв цвят. В задача от статията се споменава, че на на четирима ученици било зададено да открият математически обосновано доказателство за факта, че g има инфлексна точка за x = –2. Поне интуитивно изглежда, че това е вярно за x = –2. Нека припомним какво е инфлексна точка. Това е място, където функцията се променя от изпъкнала към вдлъбната. Или обратно, от вдлъбната към изпъкнала. Друг начин, по който да мислиш за това, е тогава, когато наклонът (ъгловият коефициент) се променя от намаляващ към нарастващ или от нарастващ към намаляващ. Като наблюдаваме ето тук, изглежда, че наклонът е намаляващ и положителен, и достига до 0. Тогава продължава да намалява и става отрицателен. Продължава да намалява, докато не достигне точката x = –2. Сега изглежда сякаш нараства и става все по-малко, по-малко и по-малко отрицателен. Ето тук изглежда, че е 0 и продължава да нараства, като достига все по-високи положителни стойности. Действително изглежда, че в точката x = –2 функцията се променя от вдлъбната към изпъкнала. Математически обосновано доказателство е, когато използваме втората производна и видим къде пресича оста x. Кога втората производна е отрицателна това означава, че наклонът е намаляващ и функцията е вдлъбната. А там, където втората производна е положителна, означава, че първата производна е нарастваща. Наклонът на първоначалната функция е нарастващ и функцията е изпъкнала. Може да забележиш, че втората производна действително пресича оста x в точката x = –2. Не е достатъчно просто да е 0 или да достига до оста x. Необходимо е да пресича оста x, за да има инфлексна точка на това място. Като вземем това предвид, нека да разгледаме доказателствата на учениците. Това, което може да направим, е да влезем в ролята на учителя и да оценим като него различните доказателства. Първият заявява: "Втората производна на g променя знака си при x = –2." Точно това, което току-що обяснихме. Ако втората производна променя знака си като в този случай от отрицателна към положителна, значи първата производна се променя от намаляваща към нарастваща. Действително за това е подходящо да кажем, че е математически обосновано доказателство. Така че поне засега ще поставя отговора "Страхотно! Това е вярно." "Пресича оста x." Това е двусмислено. Какво пресича оста x? Ако ученик напише това, бих попитал за какво говори: за функцията, за първата производна или за втората? И бих отговорил "Моля използвай по-специфичен изказ. Това не може да се приеме за вярно доказателство." Ще прочета останалите. "Втората производна на g e нарастваща за x = –2." Това обаче не доказва защо там има инфлексна точка. Например втората производна е нарастваща за x = 2,5. Втората производна е нарастваща дори и за x = –1. Но на тези места няма инфлексни точки. Затова бих отговорил: "Това не доказва защо g има инфлексна точка." Отговорът на последния ученик е, че "Графиката на g показва смяна на вдлъбнатостта за x = –2." Това е вярно, но "Това не е математически обосновано доказателство." Изисква се да използваме втората производна.