Намиране на критични точки

Нека да кажем, че функцията f от х е равна на х по е на степен –2x^2, и искаме да намерим критичните точки за функцията. Насърчавам те да спреш видеото и да помислиш дали можеш да намериш някакви критични точки за функцията f. Предполагам, че вече го направи. Нека само да си припомним какво означа критична точка. Критична точка c наричаме такaва стойност на f, тогава и само тогава – записвам съкратено "тогава и само тогава" – когато производната f' от с e равна на 0, или f' от с не е дефинирана. Ако търсим критични точки за функцията f, то искаме да открием всички места, където производната на този израз спрямо х, или е равна на 0, или не е дефинирана. Нека да помислим за това как можем да намерим производната на функцията. Нека да видим на какво ще бъде равна f', т.е. производната на функцията. Ще трябва да приложим комбинация от верижното правило и правилото за намиране производна на произведение. Ще получим производната на х спрямо х, от х, т.е. ето това, умножено по е на степен минус 2 на квадрат плюс производната спрямо х, от е на степен –2x^2. От е на степен –2x^2, умножено по х. Дотук използвахме само правилото за намиране производна на произведение. Производна от х по е на степен –2x^2, плюс производна от е на степен –2x^2 по х. На какво ще бъде равен този израз? Целият този израз в пурпурно, т.е. производната на х спрямо х, просто ще бъде равен на 1. Тази първа част ще бъде равна на е на степен –2x^2. Сега имаме производната на е на степен –2x^2. Ще го запиша в розово. Тази част ето тук ще бъде равна на... Е, тук просто ще приложим верижното правило. Производна на е на степен –2x^2 спрямо –2x^2, ще бъде равна просто на е на степен –2x^2. Ще умножим това по производната на –2x^2 спрямо х. Това ще бъде равно на –4х. Тоест по –4х, и разбира се, имаме този х ето тук. Имаме този х ето тук. Нека да видим, дали може да опростим този израз? Очевидно тези два члена съдържат е на степен –2x^2. Ще се опитам да намеря къде този израз не е дефиниран, или къде е равен на 0. Нека да помислим върху това за малко. Ако изнесем пред скоби е на степен –2x^2... ще го направя в зелено. Ще получим, че това е равно на е на степен –2x^2 по 1 – 4х^2. 1 минус 4 по х на квадрат. Това е производната на функцията f. Къде този израз няма да бъде дефиниран или ще бъде равен на 0. е на степен –2x^2 ще бъде дефиниран за всяка стойност на х. Този израз е дефиниран. А този израз всъщност ще бъде дефиниран отново за всяка стойност на х. Няма точка, където производната не е дефинирана. Нека да помислим кога производната ще бъде равна на 0. Това означава, че произведението на тези два израза ще бъде равно на 0. е на степен –2x^2 никога няма да бъде равно на 0. Ако степента в този израз изберем да е огромно отрицателно число, то изразът ще клони към 0, но никога няма да достигне до нея. Следователно тази част не може да е равна на 0. Ако произведението от тези два израза е равно на 0, то поне един от тях следва да е равен на 0. Следователно единственият начин да приравним производната f' да бъде равна на 0, е, когато 1 – 4х^2 е равно на 0. 1 – 4х^2 е равно на 0. Нека да го запиша. 1 – 4х^2 е равно на 0. Кога това е изпълнено? Просто ще решим това уравнение. Прибавяме 4x^2 към двете страни на уравнението и получаваме 1 = 4x^2. Разделяме двете страни на 4 и получаваме 1/4 е равно на х^2. За кои стойности на х това условие е изпълнено? Коренуваме (намираме квадратен корен) двете страни на уравнението и получаваме х е равно на плюс или минус 1/2. Минус 1/2 на квадрат е равно на 1/4. Плюс 1/2 на квадрат е равно на 1/4. Ако х е равно на плюс или минус 1/2, то f', или производната, е равна на 0. Нека да го запиша по следния начин. f' от 1/2 е равно на 0, а ето в този израз може да го провериш. И f' от минус 1/2 е равно на 0. Ако някой попита къде се намират критичните точки за тази функция – критични точки – то това са х равно на 1/2 и минус 1/2.