Преговор на локалните минимуми и максимуми

Прегледай как използваме диференциалното смятане, за да намерим локалните екстремуми (точките на минимум и максимум).

Как да намеря локалните максимуми и минимуми с диференциално смятане?

Локален максимум е точка, в която функцията променя посоката си от растяща към намаляваща (правейки тази точка "връх" в графиката).

Аналогично локален минимум е точка, в която функцията променя посоката си от намаляваща към растяща (правейки тази точка "дъно" в графиката).

Приемайки че вече знаеш как се намират интервали на монотонност на функция, намирането на локални екстремуми включва още една стъпка: намирането на точки, в които функцията променя посоката си.

Искаш ли да научиш още за локалните екстремуми и диференциалното смятане? Разгледай това видео.

Пример

Нека намерим локалните екстремуми на

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 7

. Първо диференцираме

f

f^{'} (x) = 3 (x + 3) (x - 1)

Нашите критични точки са

x = - 3

x = 1

Нека пресметнем

f^{'}

за всеки интервал, за да видим дали е положителна или отрицателна в този интервал.

Интервал	Стойност на $x$ ‍	$f^{'} (x)$ ‍	Заключение
$x < - 3$ ‍	$x = - 4$ ‍	$f^{'} (- 4) = 15 > 0$ ‍	$f$ ‍ е растяща. $↗$ ‍
$- 3 < x < 1$ ‍	$x = 0$ ‍	$f^{'} (0) = - 9 < 0$ ‍	$f$ ‍ е намаляваща. $↘$ ‍
$x > 1$ ‍	$x = 2$ ‍	$f^{'} (2) = 15 > 0$ ‍	$f$ ‍ е растяща. $↗$ ‍

Сега нека разгледаме критичните точки:

$x$ ‍	Преди	След	Заключение
$- 3$ ‍	$↗$ ‍	$↘$ ‍	Максимум
$1$ ‍	$↘$ ‍	$↗$ ‍	Минимум

Заключение: функцията има максимум в $x = - 3$ ‍ и минимум в $x = 1$ ‍.

Провери знанията си

Задача 1

h (x) = - x^{3} + 3 x^{2} - 4

При кои стойности на $x$ ‍ $h$ ‍ ще има локален максимум ?

Искаш ли да решиш още подобни задачи? Разгледай това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.