If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Решен пример: намиране на локални екстремуми

Сал намира локалният максимум на g(x)=x⁴-x⁵, като изследва интервалите, в които производната, g', е отрицателна или положителна.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Дадено е, че g(х) = х^4 – х^5, и искаме без да чертаем графиката на g да намерим за кои стойности на х функцията g има локален максимум. За да си припомним какво се случва в точките с локален максимум, ще начертая една хипотетична функция ето тук. Локален максимум ще се получи... Ето така може визуално да изследваш функцията. Това изглежда като локален максимум. Прилича на връх на планина или връх на хълм. Всички тези места приличат на локален максимум. А какво е общото между тях? Графиката на функцията се променя от нарастваща към намаляваща във всяка от тези точки. Променя се от нарастваща към намаляваща. От нарастваща към намаляваща във всяка от тези точки. Може да кажеш, че първата производна се променя от положителна към отрицателна. Ако разгледаш ето този интервал ето тук, производната g' е по-голяма от 0 и тогава в рамките на следващия интервал, когато функцията намалява, g' ще бъде по-малка от 0. Следователно това, върху което наистина трябва да помислим, е къде g'...Нека да видим. Търсим точки, в които има локален максимум, а това всъщност означава да попитаме: "Къде производната g' се променя от положителна към отрицателна?". От... Написах нещо друго! От g' по-голямо от 0 към g' по-малко от 0. И стойностите, които може да разгледаме, или точките, са критичните точки. А критичните точки са местата, където производната g' или е равна на 0, или не е дефинирана. Нека да помислим върху това. Къде производната g' от х е равна на 0? g' от х е равно на 0, когато...Е, нека да намерим производната g' от х. Ще приложим правилото за намиране производна на степен. Получава се 4х^3 минус 5х^4. Този израз е равен на 0. Нека да видим дали може да изнесем пред скоби х^3. Имаме х^3 по (4 – 5х) е равно на 0. Това условие ще бъде изпълнено, когато х е равно на 0. Нека не пропускаме стъпки. Условието да е 0 ще бъде изпълнено, когато х^3 е равно на 0, или (4 –5х) е равно на 0. х^3 = 0 ще бъде изпълнено, когато х е равно на 0. При 4 – 5х = 0 ще добавим 5х към двете страни на уравнението. Получаваш, че 4 е равно на 5х. Разделяме двете страни на 5 и получаваме, че х е равно на 4/5. Тези две точки са местата, в които производната е равна на 0. Има ли функцията точки, в които производната не е дефинирана? Дадената функция ето тук е просто полином. Производната е друг полином, който е дефиниран за всички реални числа. Следователно това са двете критични точки, или дори може да ги наречем критични стойности. Нека сега да помислим как се държи функцията от всяка една от страните на тези критични точки. Ще начертая една малка числова ос тук, която да ни помага да визуализираме функцията. Ето, че имаме една малка числова ос. Интересуват ни стойностите 0 и 4/5. Нека да кажем, че това тук е точката минус 1. Това тук е 0, а това е 1. Имам една критична точка... Нека да използвам пурпурен цвят тук. Имаме една критична точка, където х е равно на 0. След това имаме още една критична точка. Ще оградя х равно на 4/5. 4/5 е приблизително ето тук. Тази точка е 4/5 и нека да помислим върху това как се държи производната g' във всеки от тези интервали. Тези критични точки са единствените места, където g' може да смени знака си. Нека да помислим върху това. Нека да избера някакви цветове, които досега не съм използвал. Нека да разгледаме интервала от минус безкрайност до 0. Това е отвореният интервал от минус безкрайност до 0. Може просто да изберем някаква стойност от него. Нека да опитаме с –1. –1 е удобна стойност за изчисление. Нека да видим. Имаме 4 по –1 на степен трета. Това ще бъде равно на 4 по –1, минус 5 по –1 на степен четвърта. Тоест, просто по 1. Нека да видим. Това ще бъде равно на –4 минус 5, което е равно на –9. Следователно в тази точка –1 производната g' е равна на –1. Знаем, че в рамките на целия този интервал, след като е отляво на критичната точка, то производната g' от х e по-малка от 0. Следователно функцията е намаляваща в рамките на този интервал, а ние знаем, че търсим къде се променя от нарастваща към намаляваща. Следователно може да заявим, че не може да се промени от нарастваща към намаляваща в тази критична точка, защото вече е намаляваща отляво на критичната точка. Но нека да проверим какво се случва в рамките на другите интервали. Разглеждаме интервала между 0 и 4/5. Тоест ето този интервал тук. х е между стойностите 0 и 4/5. Нека да изберем някакво число от там. Нека да кажем, че това е числото 1/2. Сравнително просто за изчисление. Може да изчислим g' от 1/2. g' от 1/2 е равно на 4 по 1/2 на степен трета. 1/2 на степен трета е равно на 1/8. Получава се 4/8, или това е просто равно на 1/2, минус 5 по 1/2 на степен четвърта, което е равно на 5/16. Записваме минус 5/16. Следователно изразът е равен на 8/16 минус 5/16, което е равно на 3/16. Важното нещо тук обаче е, че е равно на положителна стойност. Следователно в ето този син интервал ето тук... Всъщност, нека да направя 4/5 с друг цвят, за да се отличава, че не е част от интервала. Следователно в ето този светлосин интервал ето тук, между 0 и 4/5, производната g' от х е по-голяма от 0. Знаем, че функцията е нарастваща, тогава нека да видим какво се случва отдясно на тази точка. Най-лесният начин да го направим, е просто да изберем 1. Нека да опитаме с числото х равно на 1. Намира се в този интервал. Когато х е равно на 1, просто ще запиша g' от 1 е равно на 4 минус 5. 4 минус 5 е равно на –1. Следователно g' от х е по-малко от 0. g' от х е по-малко от 0. Тогава може да заявим, че функцията g е нарастваща в този интервал, намаляваща е... О, съжалявам, трябва да бъда внимателен! g е намаляваща в ето този интервал. Самата функция е намаляваща, защото производната е отрицателна. Тогава функцията е нарастваща ето в този интервал, защото производната е положителна. След това функцията е намаляваща в този интервал. Тогава в коя критична точка функцията се променя от нарастваща към намаляваща? Това се случва в точката х = 4/5. Следователно имаме локален максимум в точката х = 4/5. А ако ни бяха попитали: "Къде функцията има локален минимум?"? Е, това ще се случи в точката х = 0. Функцията започва от намаляваща и става нарастваща, но в този случай отговорихме на поставения въпрос къде функцията има локален максимум.