Основно съдържание
Диференциално смятане
Курс: Диференциално смятане > Раздел 5
Урок 12: Анализ на неявна зависимостХоризонтална тангента на неявна крива
Съставяне на уравнение на хоризонтална тангента към крива, която е определена неявно, чрез уравнението за x и y.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Разгледай кривата, която е зададена със следното уравнение. Дадено ни ето това уравнение. Може да се докаже, че производната
на функцията у спрямо х е равна на ето този израз.
Производната може да се намери чрез неявно диференциране на функция, а след това решаване на уравнението
за у спрямо х (dy/dx). Това сме го упражнявали
в предишни уроци. Напиши уравнението на
хоризонталната линия, която е допирателна към кривата
и се намира над оста х. Спри видеото и провери дали можеш
да решиш задачата самостоятелно. Нека само да се уверим, че си
представяме функцията правилно. Ще начертая бърз и груб чертеж. Това е оста у, а това е оста х. Не знам точно как изглежда кривата, но си представям, че е
някакъв вид крива линия, която изглежда като нещо такова. Ще има две допирателни, които са хоризонтални, ако се основаваме
на това, което начертах. Едната може да е ето в тази точка, така че може да изглежда ето така. А другата може да бъде
в ето тази точка. От нас искат да намерим уравнението
на хоризонталната права, която е допирателна към кривата
и се намира над оста х. Добре, а какво ни е дадено
в задачата? Какво ще бъде изпълнено, ако тази
допирателна е хоризонтална права? Е, това условие ни казва,
че в тази точка производната dy/dx ще бъде
равна на 0. Действително, това ще бъде
изпълнено и за двете от тези точки. А ние знаем на какво е равно dy/dx. Знаем, че производната на у спрямо х е равна на –2 по (х + 3), върху 4 по у на трета степен
за всяка стойност х и у. А, кога този израз ще бъде равен на 0? Този израз ще бъде равен на 0,
когато числителят е равен на 0, а знаменателят не е. Кога числителят ще бъде равен на 0? Когато х е равно на –3. Когато х е равно на –3 първата производната е равна на 0. На какво ще бъде равна
съответната стойност у, когато х е равно на –3? И след като намерихме в коя точка,
то търсеното уравнение просто ще бъде у е равно на нещо. Ще бъде ето тази стойност за у. За да я намерим, просто вземаме х равно на –3 и го заместваме в първоначалното
уравнение, за да намерим стойността у. Нека да го направим. Ще се получи –3 на квадрат, плюс у на четвърта степен, плюс 6 по –3 е равно на 7. Това е равно на 9. Това е равно на –18. Ще се получи, че у на четвърта степен минус 9 е равно на 7. Прибавяме 9 към двете страни
на уравнението и получаваме, че у на четвърта степен
е равно на 16. Този резултат означава, че у ще бъде равно на плюс или минус 2. Следователно ще има две
хоризонтални прави. Едната ще е в точката у = 2. Другата е в точката у = –2. В задачата обаче се иска да намерим
уравнението на хоризонталната права, която е допирателна към
кривата и се намира над оста х. Следователно само ето тази,
у = 2 се намира на оста х. И сме готови. Уравнението ще бъде у = 2.