Намиране на интервали на намаляване при дадена функция

Дадена е функцията f от х е равно на х^6 – 3х^5, и искаме да знаем в какъв интервал функцията f намалява. Ще решим задачата, без дори да се налага да чертаем графиката на функцията у е равно на f от х. Ще направим това като намерим производната на f спрямо х и помислим за това къде стойността ѝ е по-малка от нула. Ако скоростта на изменение на f спрямо х е по-малка от 0, то в тези интервали функцията ще намалява. Нека първо да намерим производната. Ще намерим f' oт х като просто използваме правилото за намиране производна на степен. Ще бъде равна на 6 по х^5 минус... 5 по 3 е равно на 15 по х, нека да намалим степента с единица, т.е. х на четвърта степен. Нека да помислим кога тази производна ще бъде по-малка от 0. В кои интервали 6х^5 минус 15х^4 е по-малко от 0? Нека да видим. Може да изнесем пред скоби 3х^4. Записваме 3х^4 по... ако изнесем 3х^4, просто остава 2х – 5 е по-малко от 0. Правилно ли направих това? Да проверим. Ако разкрия скобите, то 3 по 2 е равно на 6, а х на четвърта степен по х е равно на х на пета степен. 3 по 5 е равно на 15 по х на четвърта степен. Да, правилно е. Ако имам произведение от два израза, и искам то да бъде по-малко от нула, единственият начин това да е изпълнено, т.е. предполагам мога да кажа, че има два начина да бъде изпълнено условието. Единият е първият израз да е положителен, а вторият отрицателен, или първият да е отрицателен, а вторият да е положителен. Нека да го направим. Или 3х^4 е отрицателен и 2х^5 е положителен, или... нека само да запиша този израз с различен цвят... или 3х^4 е положителен, а 2х^5 е отрицателен. Нека да видим. Това е х на четвърта степен, т.е. 3 по х на четвърта степен да е по-малко от 0. Ако разделим и двете страни на неравенството на 3, просто ще остане х^4 трябва да е по-малко от 0. Има ли начин нещо да бъде повдигнато на четвърта степен и да бъде по-малко от 0? Предполагаме, че тук работим с реални числа, и всяко реално число, повдигнато на квадрат, ще бъде по-голямо или равно на 0. Следователно е невъзможно нещо, повдигнато на четвърта степен, да бъде по-малко от 0. Този израз никога, никога няма да е по-малък от 0. Следователно можем да изключим този първи случай. Можем да изключим този първи случай още сега. И сега остава да проверим този случай. 3х^4 е по-голямо от 0, а това ще бъде изпълнено, когато х не е равно на 0. Това е... за всяко друго число х това ще бъде изпълнено. х може да е отрицателно число. Повдигаш го на четвърта степен, умножаваш го по 3, ще бъде по-голямо от 0. Това действително е условието, поради което х не може да бъде равно на 0. Нека да разгледаме втория израз. (2х –5) е по-малко от 0. Това означава, че 2х ще бъде по-малко от 5, а тогава х е по-малко от 5/2. Когато х е по-малко от 5/2, а х не е равно на 0, то този израз ще намалява. Ако искаме да го запишем, т.е. да го изразим чрез интервали, то бихме могли да кажем, че х... ще го направя с различен цвят, просто за да не е монотонно – бихме могли да кажем, че... Имам проблем с избора на цвят. Бихме могли да кажем, че х е по-малко от 0, или х е по-голямо от 0 и х е по-малко от 5/2. х е по-малко от 0, а това са всички отрицателни стойности. Тогава всъщност просто изключваме нулата. След това просто изминаваме цялото разстояние до 5/2. И запомни, че всичко, което казах, е вярно, когато първата производна е отрицателна, защото, ако първата производна е отрицателна, то скоростта на изменение на функцията f спрямо х е отрицателна, или функцията f намалява, когато х нараства.