Основно съдържание
Курс: Диференциално смятане > Раздел 5
Урок 1: Теорема за крайните нараствания (теорема на Лагранж)- Теорема за крайните нараствания (теорема на Лагранж)
- Теорема за крайните нараствания: полином
- Теорема за крайните нараствания: ирационална функция
- Приложение на теоремата за крайните нараствания
- Доказателство чрез теоремата за крайните нараствания: таблица
- Доказателство чрез теоремата за крайните нараствания: уравнение
- Установяване на диференцируемост за ТКН
- Доказателство чрез теоремата за крайните нараствания
- Приложение на теоремата за крайните нараствания
- Теорема за крайните нараствания: преглед
© 2024 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Доказателство чрез теоремата за крайните нараствания: уравнение
Пример илюстрира приложението на теоремата за крайните нараствания (където функцията е дефинирана с уравнение).
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Нека функцията g от х да бъде равна
на 1 върху х. Може ли да използваме
Теоремата за крайните нараствания, за да докажем, че уравнението
g' от х равно на 1 върху 2, има решение, когато х е
по-голямо от –1 и по-малко от 2. Ако е възможно, напишете доказателство. Добре, спри видеото и провери дали можеш
да решиш задачата самостоятелно. Ключовото нещо, за да се приложи
Теоремата за крайните нараствания, дори преди още да си помислиш за нея, е да се увериш, че функцията е непрекъсната
в затворения интервал, и диференцируема в
отворения интервал, като ето това е отвореният интервал. Затвореният интервал просто
включва крайните точки. Възможно е обаче веднага
да разбереш, че и двата интервала съдържат х = 0, а в точката х = 0 функцията
не е дефинирана. И ако в тази точка не е дефинирана, то няма да бъде непрекъсната, или диференцируема в същата точка. Тогава отговорът
на поставения въпрос е НЕ! Функцията е прекъсната и не е диференцируема. Диференцируема. В дадения интервал. В дадения интервал. Добре, нека да разгледаме
втората част от задачата. Може ли да използваме
Теоремата за крайните нараствания, за да докажем, че съществува
такова число c, за което f' от с е равно на –1/2? И с е по-голямо от 1 и по-малко от 2. "Ако е възможно, напишете доказателство." Спри видеото отново. В тази ситуация числото с
се намира между 1 и 2 в отворения и в затворения интервал. g от х е рационална функция, а една рационална функция
ще бъде непрекъсната и диференцируема за всяка точка
от дефиниционното ѝ множество. А дефиниционното множество
на функцията g напълно съдържа този отворен и затворен интервал. Казано по друг начин, всяка точка в този отворен или затворен интервал принадлежи
на дефиниционното множество на g. Следователно може да запишем,
че g от х е рационална функция, което означава, че е непрекъсната и диференицируема за всяка точка
от дефиниционното ѝ множество. За всяка точка от дефиниционното ѝ множество. Затвореният интервал [1; 2] принадлежи на дефиниционното
ѝ множество. Нека сега да разгледаме на какво е равна
средната скорост на изменение в интервала от 1 до 2. Съставяме израза g от 2 минус g от 1, върху 2 минус 1, е равно на 1 върху 2 минус 1, цялото върху 1,
което е равно на минус 1 върху 2. Следователно... Следователно, според Теоремата за крайните нараствания следва да съществува число с, което е по-голямо от 1 и по-малко от 2, и g' от с е равно на средната скорост на изменение
между крайните точки, т.е. на минус 1 върху 2. И сме готови! Може да запишем
голямо ДА ето тук, а това е нашето доказателство.