If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Доказателство чрез теоремата за крайните нараствания: таблица

Пример илюстрира приложението на теоремата за крайните нараствания (където функцията е дефинирана с таблица).

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Таблицата съдържа избрани стойности на дифенренцируемата функция f. Може ли да използваме Теоремата за крайните нараствания, за да покажем, че съществува число c, такова че f' от с е равно на 5, а числото с принадлежи на интервала (4; 6). Ако е изпълнено, покажи доказателство. За да използваме Теоремата за крайните нараствания, функцията следва да е диференцируема в отворения интервал, и непрекъсната в затворения интервал. Изглежда, че тези условия са изпълнени. Защото, ако функцията е диференцируема в даден интервал, то определено е непрекъсната в този интервал. В условието е дадено, че поначало функцията е диференцируема, предполагам за всеки един интервал. Следващата стъпка е да кажем: добре, ако това условие е изпълнено, то тогава наклонът на секущата между точките (4; f от 4) и (6; f от 6), поне за една точка между 4 и 6 – поне в една точка – производната ще има наклон, равен на наклона на секущата. Нека да намерим на какво е равен наклонът на секущата между точките (4; f от 4) и (6; f от 6). Ако е равен на 5, то тогава може да използваме Теоремата за крайните нараствания. Ако не е равен на 5, това означава, че Теоремата за крайните нараствания не е приложима. Нека го направим. f(6) – f(4) върху (6 – 4) е равно на 7 минус 3 върху 2, е равно на 2. Следователно 2 е различно от 5. Следователно Теоремата за крайните нараствания не е приложима. Ще поставя удивителен знак, за да подчертая значението. Добре, нека да разгледаме следващата част от задачата. Може ли да използваме Теоремата за крайните нараствания, за да докажем, че уравнението f'(х) = –1 има решение? Сега интервалът е от 0 до 2, т.е. (0; 2). "Ако да, докажи го." Добре, нека да разгледаме условието. Ще намерим наклона на секущата линия. f от 2 минус f от 0, върху 2 минус 0. Този израз е равен на минус 2 минус 0, върху 2, което е равно на –2 върху 2, което е равно на –1. Знаем също така, че функцията изпълнява условията за непрекъснатост и диференцируемост. Следователно може да заявим, че след като f е диференцируема, по дефиниция е диференцируема, то тя ще бъде диференцируема и непрекъсната в интервала от 0 до 2, като ще напиша затворен интервал. Следва да е диференцируема само в отворения интервал, но предполагам, че щеше дори да е по-добре, ако беше диференцируема в затворения интервал, защото следва да е непрекъсната в затворения интервал. След като f поначало е диференцируема, ще бъде диференцируема и непрекъсната в интервала (0; 2). Теоремата за крайните нараствания ни казва, че има такова число х в интервала от 0 до 2, за което f' от х е равно на наклона на секущата. Може да се каже също, че средната скорост на изменение, е равна на –1. Може да запиша отговор ДА, а това ще бъде моето доказателство. Това е наклонът на секущата линия или средната скорост на изменение. А след като функцията f поначало е диференцируема, то ще бъде диференцируема и непрекъсната в затворения интервал. Тогава Теоремата за крайните нараствания ни казва, че в този интервал се намира такова число х, за което f' от х е равно на –1, И сме готови!