If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:3:41

Доказателство чрез теоремата за крайните нараствания: таблица

Видео транскрипция

Таблицата съдържа избрани стойности на дифенренцируемата функция f. Може ли да използваме Теоремата за крайните нараствания, за да покажем, че съществува число c, такова че f' от с е равно на 5, а числото с принадлежи на интервала (4; 6). Ако е изпълнено, покажи доказателство. За да използваме Теоремата за крайните нараствания, функцията следва да е диференцируема в отворения интервал, и непрекъсната в затворения интервал. Изглежда, че тези условия са изпълнени. Защото, ако функцията е диференцируема в даден интервал, то определено е непрекъсната в този интервал. В условието е дадено, че поначало функцията е диференцируема, предполагам за всеки един интервал. Следващата стъпка е да кажем: добре, ако това условие е изпълнено, то тогава наклонът на секущата между точките (4; f от 4) и (6; f от 6), поне за една точка между 4 и 6 – поне в една точка – производната ще има наклон, равен на наклона на секущата. Нека да намерим на какво е равен наклонът на секущата между точките (4; f от 4) и (6; f от 6). Ако е равен на 5, то тогава може да използваме Теоремата за крайните нараствания. Ако не е равен на 5, това означава, че Теоремата за крайните нараствания не е приложима. Нека го направим. f(6) – f(4) върху (6 – 4) е равно на 7 минус 3 върху 2, е равно на 2. Следователно 2 е различно от 5. Следователно Теоремата за крайните нараствания не е приложима. Ще поставя удивителен знак, за да подчертая значението. Добре, нека да разгледаме следващата част от задачата. Може ли да използваме Теоремата за крайните нараствания, за да докажем, че уравнението f'(х) = –1 има решение? Сега интервалът е от 0 до 2, т.е. (0; 2). "Ако да, докажи го." Добре, нека да разгледаме условието. Ще намерим наклона на секущата линия. f от 2 минус f от 0, върху 2 минус 0. Този израз е равен на минус 2 минус 0, върху 2, което е равно на –2 върху 2, което е равно на –1. Знаем също така, че функцията изпълнява условията за непрекъснатост и диференцируемост. Следователно може да заявим, че след като f е диференцируема, по дефиниция е диференцируема, то тя ще бъде диференцируема и непрекъсната в интервала от 0 до 2, като ще напиша затворен интервал. Следва да е диференцируема само в отворения интервал, но предполагам, че щеше дори да е по-добре, ако беше диференцируема в затворения интервал, защото следва да е непрекъсната в затворения интервал. След като f поначало е диференцируема, ще бъде диференцируема и непрекъсната в интервала (0; 2). Теоремата за крайните нараствания ни казва, че има такова число х в интервала от 0 до 2, за което f' от х е равно на наклона на секущата. Може да се каже също, че средната скорост на изменение, е равна на –1. Може да запиша отговор ДА, а това ще бъде моето доказателство. Това е наклонът на секущата линия или средната скорост на изменение. А след като функцията f поначало е диференцируема, то ще бъде диференцируема и непрекъсната в затворения интервал. Тогава Теоремата за крайните нараствания ни казва, че в този интервал се намира такова число х, за което f' от х е равно на –1, И сме готови!