Теорема за крайните нараствания (теорема на Лагранж)

Да видим дали можем да разберем добре теоремата за средните стойности. И както ще видим, щом веднъж разгледаме добре някои от математическите понятия и символиката, това ще е една доста разбираема за нас теорема. Та нека разгледаме дадена функция f. Да кажем, че имам някаква функция f. Знаем няколко неща за тази функция. Знаем, че тя е непрекъсната в рамките на затворения интервал между х, равно на а, и х, равно на b. И когато поставим тези скоби тук, това означава затворен интервал. Когато напиша скобата така, това означава, че включваме точката а. А ако поставя скобата от дясната страна, вместо кръгли скоби, това означава, че включваме точката b. И "непрекъсната" функция означава, че нямаме никакви празноти или прескачания във функцията в рамките на този затворен интервал. Сега, нека също приемем, че функцията е диференцируема в рамките на отворения интервал между а и b. Сега казваме, ами, хубаво е ако не е диференцируема точно в а, или ако не е диференцируема точно в b. A диференцируема означава, че е налице определена проиводна, така че можем всъщност да намерим производната в тези точки. Така че функцията е диференцируема в рамките на отворения интервал между а и b. A това са ограниченията, които ще си наложим при теоремата за средните стойности. Нека се опитаме да си представим нагледно това. Това е моята функция, това е ординатната ос. И тогава това тук е абсцисната ос. И аз ще - да видим, абсцисната ос, нека начертая моя интервал. Така, това е а, а това тук е b. И нека нашата функция е нещо такова. Тук чертая произволна функция, да кажем, че моята функция изглежда така. Така че в тази точка тук, стойността на х е а, а стойността на у е f (а). f(a). В тази точка тук, стойността на х е b, а стойността на у, естествено, е f(b). f(b). Така че всичко, което ни казва теоремата за средните стойности, е това, че ако вземем средната степен на изменение в рамките на интервала така, че в дадена точка моменталната степен на изменение, поне в някаква точка от този отворен интервал, моменталното изменение ще е същото като средното изменение. Как можем да представим това нагледно? Нека пресметнем средното изменение. Средното изменение между точка а и точка b, ами, това ще е наклонът на пресечната права. Наклонът на пресечната права. Така че това е - това е пресечната права. Нека помислим за нейния наклон. Всичко, което ни казва теоремата за средните стойности, е това, че в някаква точка от този интервал, моментният наклон на допирателната ще е същият като наклона на пресечната права. И можем да видим нагледно, че това изглежда така, наклонът на допирателната изглежда е същият като този на пресечната права. Прилича на този случай тук. Наклонът на допирателната е равен на наклона на пресечната права. И това е нещо разбираемо. В дадена точка, моменталният наклон ще е същият като средния наклон. Как ще запишем това математически? Ами нека пресметнем средния наклон на този интервал. Средният наклон на този интервал, или средното изменение, наклона на пресечната права, ще е изменението в у - нашето изменение в у тук на това място - върху изменението в х. Върху изменението в х. А какво е изменението в у? Изменението в у е f(b) минус f(a), и това ще е върху изменението в х. Върху b минус b минус а. Ще оцветя това в червено. Така, нека си припомним какво се случва тук. Това, което виждаме, е графиката на у, равно на f(x). Казваме, че наклонът на пресечната права, или средната стойност на изменението в интервала от а до b, представлява изменението в у - гръцката буква делта служи за кратък запис на изменение в у -върху изменението в х. ... Което, естествено, е равно на това. И теоремата за средните стойности ни казва, че съществува- ако знаем тези два елемента на функцията, тогава съществува някаква стойност на х между a и b. И в отворения интервал между a и b съществува дадено с. Съществува дадено с, и можем да кажем, че то е член на отворения интервал между а и b. Между а и b. Или можем да кажем, че с, такова, че а е по-малко от с, което пък е по-малко от b. Та дадено c е в този интервал. Дадено c е тук вътре, където моментната степен на изменението за тази стойност на х е равна на средната степен на изменението. Един вид в този отворен интервал съществува дадено c, за което средната степен на изменението е равна на моментната степен на изменението в тази точка. Това е всичко, което се казва. И както видяхме тази диаграма тук, това може да е споменатото c. Или и това може да е c. И реално нищо - изглежда можем да кажем, че f е непрекъсната между а и b, диференцируема в - f е непрекъсната в рамките на затворения интервал, диференцируема в отворения интервал, вижда се всичката символика тук. И в крайна сметка какво се има предвид това? Това означава, че в дадена точка от интервала, моментната степен на изменението ще е равна на средната степен на изменението в целия интервал. Следващия път ще се опитаме да дадем един реален пример от живота, когато това има смисъл.