Оптимизация: цена на материали

Правоъгълен контейнер без горна основа трябва да притежава обем от 10 кубични метра. Дължината на основата е два пъти по-голяма от широчината. Материалът за основата струва 10 долара на квадратен метър. Материалът за страните струва 6 долара на квадратен метър. Намерете разходите за материали, така че контейнерът да струва най-евтино. Нека да начертаем един отворен контейнер. Тоест, този отворен правоъгълен контейнер няма да има горна основа. Нека да го начертая, доколкото мога. Няма да има горна основа.. Това е горната част на моя контейнер. Нека сега да начертая стените. Нека да начертая стените. Ето така. Може би ще изглежда като нещо такова. След това мога да начертая... Всъщност след като е без горна основа, мога да виждам вътре, т.е. вътре в контейнера. Контейнерът ще изглежда като нещо такова. Какво ни е дадено в задачата? Казват ни, че обемът трябва да бъде равен на 10 кубични метра. Нека го запиша. Обемът трябва да бъде равен на 10 кубични метра. Дължината на основата е два пъти по-голяма от широчината. Нека да означим широчината да е равна на х. Следователно дължината на контейнера ще бъде два пъти колкото тази стойност. Тоест ще бъде равна на 2х. Това е, което ни казват в условието. Казват ни още, че материалът за основата струва 10 долара на квадратен метър. Тоест, тази площ ето тук е основата. Ако беше прозрачно, можеше да продължа чертежа дотук. Това ето тук, т.е. този материал, ще струва 10 долара на квадратен метър. Нека да го означа, че е 10 долара на квадратен метър. След това ни казват, че материалът за страните струва 6 долара на квадратен метър. Материалът ето тук струва 6 долара на квадратен метър. Нека да видим дали може да намерим стойността, която ще струва контейнера, като функция на х. Но х е само размер от основата. Тогава се нуждаем и от размера на височината. Разходите ще бъдат функция на х и височината. Нека да означим височината с h ето тук. На какво ще бъдат равни разходите за контейнера? Разходите за контейнера ще бъдат равни на разходите за основата... Разходите за основата ще бъдат равни на 10 долара, умножено по... Просто ще запиша 10. Разходите ще бъдат равни на 10 по лицето на основата. А на какво е равна лицето на основата? Лицето ще бъде равно на широчината, умножена по дължината. Тоест 10 по х, по 2х. Това се получава за разходите за основата. Разходи за основата. А на какво ще са равни разходите за стените? Различните стени ще имат различни размери. Имаш ето тази стена тук и тази стена ето тук, които имат еднакви размери. Всяка от тези стени има лице, равно на х по h. Тоест имаме х по h. Материалът е равен на 6 долара на квадратен метър. Следователно за разходите ще се получи 6 пъти по x, по h, за един от тези странични панели. За два от тях следва да умножим тази стойност по 2. Плюс 2 по 6, по х, по h. След това имаме тези два странични панела. Имаме ето този панел ето тук и имаме ето този страничен панел ето тук. Лицето на всеки един от тях ще бъде 2х... Следователно ще се получи 2х по h. Разходите за материал ще бъдат равни на 6... Разходите за този панел, ще бъдат равни на 6 долара на квадратен метър по 2х, по h, в квадратни метра. Но имаме два такива панела. Един панел, два панела. Следователно трябва да умножим по 2. Така получаваме този израз ето тук, който е равен на разходите за стените. Разходи за стените. Нека да видим дали може да го опростим. Ще запиша всичко в неутрален цвят. Това ще бъде равно на 10. Нека да видим. 10 по 2 е равно на 20. х по х е равно на х на квадрат. След това имаш 2 по 6х, по h. Това ще бъде равно на плюс 12xh. Тогава това ще бъде равно на 2 по 6, което е равно на 12. И по 2 е равно на 24xh, т.е. плюс 24xh. Следователно целият израз ще бъде равен на 20х на квадрат, плюс 36xh. Този израз определя разходите. Но все още не е готов за оптимизация. Не знаем как да оптимизираме спрямо две променливи. Знаем как да оптимизираме само спрямо една променлива. Нека да кажем, че ще оптимизирам разходите спрямо х. Ако искам обаче да оптимизирам спрямо х, следва да изразя h като функция на х. Как може да направим това? Как може да изразим h като функция на х? Знаем, че обемът трябва да бъде равен на 10 кубични метра. Знаем, че х по широчината, по дължината, по 2х, по височината h следва да е равно на 10. С други думи, това ни казва, че 2х на квадрат по h, 2х на квадрат по h следва да бъде равно на 10. Ако искаме h да е изразено като функция на х, то просто следва да разделим двете страни на 2х на квадрат. Получаваме, че h е равно на 10 върху 2х на квадрат. Може да кажем, че h е равно на 5 върху х на квадрат. А след това може да заместим h отново ето тук. h е равно на 5 върху х на квадрат. Целият този израз ще бъде равен на 20 по х на квадрат, плюс 36 по х, по 5 върху х на квадрат. 5 върху х на квадрат. Нашите разходи като функция на х ще бъдат равни на 20х на квадрат, по 36, по 5. Нека да видим, 30 пъти по 5 е равно на 150. Плюс още 30 ще бъде равно на 180. Следователно ще бъде равно на 180 по... нека да видим – х по х на степен минус 2 - плюс 180х на степен минус 1. Накрая имаме разходите като функция на х. Сега вече може да оптимизираме. За да оптимизираме, следва да намерим, кои са критичните точки за функцията, и дали тези критични точки са минимални или максимални стойности. Нека да видим какво можем да направим. За да намерим критичните точки, следва да намерим производната. А след това къде производната не е дефинирана или е равна на 0. Тези стойности ще бъдат кандидати за критични точки, Тогава от критичните точки намираме дали там функцията има максимална или минимална стойност. Производната c' от х, т.е. на разходите спрямо х, ще бъде равна на 40 по х, минус 180 по х на минус втора степен. Сега изглежда, че този израз е дефиниран за всяка стойност на х, с изключение на х равно на 0. Но х равно на 0 не е от значение за нас като критична точка, защото тогава контейнерът въобще няма да има основа. Тогава няма да се притесняваме за критични точки. Изобщо няма да имаме обем, т.е. няма да се получи кутия. Всъщност, ако х е равно на 0, то тогава височината също не е дефинирана. За всяка друга стойност този израз е дефиниран. За всяка друга стойност, която е различна от х равно на 0. Нека да видим кога производната е равна на 0 в търсенето за критични точки. Ще го запиша ето тук. Кога 40х – 180 по х на минус втора степен ще бъде равно на 0? Може да прибавим 180 по х на минус втора степен към двете страни на уравнението. Получава се, че 40х е равно на 180 ... Може да го запишем като 180 върху х на квадрат. Нека да видим. Може да умножим двете страни на това уравнение по х на квадрат. И ще получим, че 40х на трета степен е равно на 180. Разделяме двете страни на 40. Получава се х на трета степен е равно на 180/40, което е равно на същото като 18/4. А това е равно на същото като 9/2. Ако искаме да намерим х, получаваме, че х е равно на следното. Получаваме критична точка за х равно на 9/2 на степен 1/3. Това е корен трети от 9/2. Нека да видим. Нека да намерим приблизително на какво е равно това. Ако вземем 9/2, т.е. 9 разделено на 2... предполагам се досещаш, че е равно на 4,5. Искаме да повдигнем това число на степен 1/3. Повдигнато на степен 1/3 получаваме, че е равно на 1,65. Следователно критичната точка е приблизително х равно на 1,65. По начинът, по който е дадено условието, получаваме само една приемлива критична точка. Това вероятно ще бъде х, където функцията достига минимална стойност. Нека да използваме правилото на втората производна, за да се уверим, че на това място определено функцията е изпъкнала. В такъв случай това би означавало, че за тази стойност на х функцията достига минимална стойност. Втора производна. Ще я запиша ето тук. Втората производна на съставената функция на разходите ще бъде равна просто на производната на този израз. Следователно се получава 40 минус 180 по минус 2, което е равно на минус 360, т.е. ще бъде плюс 360/х на трета степен. Производната на този израз е равна на минус 2 по 180, което е равно на плюс 360х на минус трета степен. Получава се точно това ето тук. Когато х е равно на 1,65, то този израз ще бъде положителен. Втората производна ще бъде положителна. Нека да го запиша. c'' от 1,65 определено ще бъде по-голямо от 0. Определено функцията е изпъкнала, когато х е равно на 1,65. Функцията е изпъкнала, което означава, че графиката ще изглежда като нещо такова. Там, където производната е равна на 0, което се случва точно ето тук – функцията достига минимум. Намираме минималните разходи. Ако се върнем на въпроса, то остава само едно нещо, което да направим сега, т.е. след като знаем стойността на х, когато разходите са минимални. Сега следва да намерим разходите за материали за най-евтиния контейнер. Просто следва да изчислим на какво са равни разходите. Вече знаем на какво са равни разходите като функция на х. Следователно просто ще заместим 1,65 в този израз. Ще изчислим функцията в точката 1,65. Нека го направим. Разходите ще бъдат равни на следното. Следва да заявя, че това е приблизителна стойност, защото използвам приближение на истинската стойност. Имаме 20 по 1,65 на квадрат, плюс 180. Разделяме на 1,65. Това е същото като да умножим по 1,65 на минус първа степен. Разделяме на 1,65 и получаваме 163. Просто ще го оставя като 163,5 долара. Това е приблизителна стойност. Тогава разходите... нека само да ги запиша с друг цвят – и сега заслужаваме поздравления – ще бъдат приблизително равни на 163,54 долара, когато х е равно на 1,65. Получи се 163,54 долара, което е сравнително скъпа кутия. Сравнително скъпо излиза. Това е доста скъп материал тук. Въпреки, че кутията е сравнително голяма. 1,65 метра широчина, а дължината ѝ ще бъде два пъти по-голяма. Тогава може да намериш на какво ще бъде равна височината. Въпреки, че няма да бъде твърде висока. 5, разделено на 1,65 на квадрат. Не знам, но приблизително ще се получи малко по-малко от 2 метра височина. Всъщност е доста голяма кутия, направена от много скъп материал. Минималните разходи за направата на такава кутия ще бъдат равни на 163,54 долара.