If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:11:27

Видео транскрипция

Отваряш фабрика за производство на обувки и се опитваш да разбереш колко хиляди чифта обувки да произвеждаш, за да получиш оптимална печалба. Нека х да бъде равно на "хиляди произведени чифта". Хиляди произведени чифта. Нека сега да помислим колко пари ще получиш за всеки продаден чифт. Всъщност нека да кажем "какъв приход", което означава на каква цена действително ще продаваш обувките. Нека да запишем функцията ето тук. Приходите като функция на х. Работиш с търговец на едро, който ти плаща по 10 долара на чифт, за колкото чифта решиш да му дадеш. Следователно твоят приход като функция на х ще бъде равен на 10х. И след като х се измерва в хиляди продадени чифта – ако х е равно на 1, това означава, че 1000 произведени чифта по 10, е равно на 10 000 долара. Но тук просто ще бъде 10. Тогава този знак ето тук означава "хиляди долари". Хиляди долари. Ако х е равно на 1, то това означава 1000 чифта произведени. 10 по 1 означава, че r е равно на 10. Но това действително означава 10 000 долара. Би било много хубаво, ако имаше само приходи, без никакви разходи. Но все пак имаш разходи. Нуждаеш се от материали, трябва да построиш фабриката, да плащаш на работниците, трябва да плащаш сметки за ток. Тогава наемаш един куп консултанти, които да изчислят на какво са равни разходите ти като функция на х. На какво са равни разходите ти като функция на х. И те съставят функция. Казват, че това е броят на хилядите чифтове обувки, които произвеждаш, на степен трета, минус 6 по хилядите чифтове обувки, които произвеждаш, на квадрат, плюс 15 по хилядите чифтове обувки, които произвеждаш. И отново, това ще бъде измервано в хиляди долари. Сега разполагаме с тези функции на х за приход r от x, и разход c от x. На какво ще бъде равна печалбата като функция на х? Печалбата като функция на х ще бъде равна на приходите като функция на х, минус разходите като функция на х. Минус разходите като функция на х. Ако произвеждаш определено количество, което осигурява, например 10 000 долара приходи, а правиш 5 000 долара разходи, за да ги произведеш, то печалбата ще бъде равна на 5 000 долара. Тези числа не са тези, които действително ще получиш от това уравнение ето тук. Просто ти давам пример. Този израз е това, което искаш да оптимизираш. Искаш да оптимизираш p като функция на х. Какво ще се получи? Просто го изразих тук като общ вид, но знаем, какво означава r от х и какво c от x. Това ще бъде равно на 10х минус целия този израз ето тук. Следователно минус х на трета степен, плюс 6х на квадрат, минус 15х. Просто извадиш х на квадрат, изваждаш минус 6х на квадрат и става положително. Изваждаш 15х и става минус 15х. А сега ще опростим този израз. Имаме –х на трета степен плюс 6х на квадрат, минус 15х плюс 10х, което е равно на –5х. За да намериш оптималната печалба от тази функция по аналитичен начин, най-лесният начин е да намериш кои са критичните точки на функцията. Има ли от тези критични точки такива, които са точки на минимум или максимум? Ако една от тях е точка на максимум, тогава може да заявим, че това е количеството, което ще произвеждаш. Сега следва на намерим, т.е. да получим оптималното количество, което следва да произвеждаш, за да имаш оптимална печалба. Преди да намерим критичните точки, всъщност следва да намерим производната на функцията, и да намерим кога производната е равна на 0, или кога не е дефинирана. Това е определението за критични точки. p' от х ще бъде равно на –3х^2 + 12х – 5. Този израз ще бъде дефиниран за всяко х. Единствените критични точки, които има функцията, са, когато първата производна е равна на 0. Тоест –3х^2 + 12х – 5 следва да е равно на 0, за да е х критична точка. Сега просто следва да намерим х от уравнението. Просто решаваме квадратно уравнение. За да нямам толкова много отрицателни числа, ще умножа и двете страни по –1. Искам да имам положителен първи коефициент. Ако умножим от двете страни на уравнението по –1, получаваме 3х^2 – 12х + 5 е равно на 0. Сега може да използваме формулата за корените на квадратно уравнение и да намерим х. Ще се получи, че х е равно на –b, което е равно на 12, плюс или минус квадратния корен. Винаги имам нужда да правя знака за радикал достатъчно широк. Квадратен корен от b на квадрат, което е равно на 144 минус 4 по а, което е 3, по с, което е равно на 5... по 5. Всичко това е върху 2а. 2 по 3 е равно на 6. х е равно на 12 плюс или минус квадратен корен от 4 по 3, което е равно на 12, по 5, е равно на 60. 144 минус 60 е равно на 84. Всичко това е върху 6. х може да е равно на 12 плюс квадратен корен от 84, върху 6. Или х ще бъде равно на 12 минус квадратен корен от 84, върху 6. Нека да определим на какво са равни тези два хикса. Ще използвам калкулатор. Ще използвам калкулатор за тази цел. Получава се 12, плюс квадратен корен от 84, разделено на 6. Това е равно на 3,5 или просто ще го оставя като 3,53. Тоест приблизително 3. Всъщност, нека да имам още един знак, защото търся хиляди. Нека да кажем, че е равно на 3,528. Това действително се получава да са 3 528 обувки, защото се измерва в хиляди чифтове обувки. Нека да решим и случая, когато изваждаме радикала. Всъщност може да използваме предните въведени данни, и просто да сменим знака на изваждане. Променяме да е с отрицателен знак, т.е. изваждане. Готови сме. Получаваме 0,4725. Нека да го запаметя. 0,4725 Приблизително е равно на 0,4725. Имам ужасна памет, така че нека да се уверя, че записах същото нещо. 4725 Да. Добре! Сега това е всичко, което знаем за критичните точки. Това са двете такива. Това са точки, където производната е равна на 0. Но определено не знаем дали са точки на минимум, т.е. дали са точки, в които функцията достига минимална стойност или максимална стойност, или нито едното от двете. За да разберем това, ще използваме втората производна. За да определим дали функцията е изпъкнала или е вдлъбната, или е не е нито едното, нито другото в тези точки. Нека да разгледаме втората производна. p'' от х ще бъде равно на минус 6х плюс 12. И ако я разгледаме... нека да се уверя, че имам достатъчно място. Ако изчислим p'' от 3,528. Нека да видим дали може да го направим. Това се намира между 3 и 4. Ако изберем по-ниската стойност, т.е. 3 по –6, е равно на –18, плюс 12, ще се получи по-малко от 0. А ако това беше равно на 4, щеше да бъде дори още по-голяма отрицателна стойност. Следователно този израз ще бъде по-малък от 0. Дори не се налага да използвам калкулатор, за да го изчисля. А какво ще се получи за тази стойност ето тук? 0,4725 Добре, 0,4725 е приблизително 0,5. Минус 6 по 0,5 е равно на –3. Това въобще не е близо до отрицателна стойност. Определено ще бъде положително число. Следователно p'' от 0,4725 ще бъде по-голямо от 0. Фактът, че втората производна е по-малка 0, означава, че производната намалява. Първата производна намалява, когато х е равно на тази стойност. Което означава, че графиката, т.е. функцията е вдлъбната тук. Вдлъбната функция. Вдлъбната функция означава, че изглежда като нещо такова. И може да видиш как изглежда. Като нещо такова. Наклонът постоянно намалява. Ако имаш интервал, където наклонът намалява, и знаеш коя е точката, където наклонът е точно равен на 0 – в случая това е х = 3,528 – то тази стойност следва да е максимум. Действително функцията достига до максимална стойност, когато х = 3,528. От другата страна, ето тук, виждаме, че функцията е изпъкнала. Изпъкнала функция. Графиката ще изглежда по следния начин. Като това нещо ето тук. И ако наклонът е равен на 0, там където графиката изглежда по този начин, то виждаме, че това е точка на локален минимум. Локален минимум. И определено не искаме да правим това. Ще произвеждаме 472 и 1/2 единици, ако искаме да имаме минимална печалба, т.е. максимална загуба. Определено не искаме това да се случи. Но нека всъщност да помислим на какво ще бъде равна печалбата ни, ако произвеждаме 3,528 хиляди чифта обувки или 3528 обувки. За да направим това, просто следва да въведем тази стойност обратно в първоначалната функция за печалбата ето тук. Нека го направим. Ще взема калкулатора. Първоначалната функция на печалбата е ето тук. Искам да мога да я виждам. Замествам –3,528 на трета степен плюс 6 по 3,528 на квадрат, минус 5 по 3,528. Получава се – и заслужаваме поздравление тук – печалба от 13,128. Нека да го запиша. Печалбата, ако произвеждаш 3 528 чифта обувки, е приблизително равна – ако произвеждаш точно толкова обувки – ще бъде равна на 13,128. Действително, това е приблизителна печалба, защото отново я закръглявам на 13,128. Следователно, ако произвеждам 3,528 хиляди чифта обувки за даден период от време, то ще имам печалба от 13 128 долара. Припомни си, че тези стойности тук са в хиляди. Това ето тук са 13,128 хиляди долари печалба, което е равно на 13 128 долара. Няма значение, защото вече сме богати производители на обувки.