If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:11:40

Видео транскрипция

В това видео се надявам да докажем, че ако една функция е диференцируема в дадена точка с, тя също ще бъде непрекъсната в тази точка с. Преди да направим доказателството, нека си припомним какво означава диференцируемост и непрекъснатост. Първо диференцируемост. Диференцируемост. Нека помислим върху това. Винаги е полезно да си начертаем една функция. Това е оста у. Това е оста х. Хайде да начертаем някаква функция. Да кажем, че функцията ми изглежда ето така и нас ни интересува точката х = С, която е ето тук. Това е точката х = с. Тази стойност, разбира се, ще бъде f(c). Единият вариант за намиране на производната при х = с, иначе казано наклона на допирателната в х= с, е... Можем да започнем и с друга точка. Произволна стойност на х. Да кажем, че това е произволна стойност на х. Тази точка, тази стойност, тази стойност за у ще е f(x). Това е графиката у = f(x). Искаме да намерим наклона на тази права, тази секуща права между тези две точки, за да намерим границата при х, клонящо към с. Когато х клони към с, наклонът на тази секуща линия ще клони към наклона на допирателната, т.е. ще бъде производната. Можем да сметнем границата при х, клонящо към с, на наклона на тази секуща линия. Какъв е наклонът? Ще бъде изменението на у спрямо изменението на х. Изменението на у е f(x) минус f(c). Това е изменението на у. Всичко това е преговор. Това е просто една дефиниция за производна, един начин за разглеждане на производната. Получаваме f(x) минус f(c), което е нашето изменени на у, върху изменението на х, което е х минус с. То е х минус с. Ако тази граница съществува, тогава ще можем да намерим наклона на допирателната в тази точка и ще наречем този наклон на допирателната производната при х = с. Казваме, че това ще бъде f'(с). Всичко това е преговор. Единият вариант за разглеждане... Ако кажем, че функцията f е диференцируема при х = с, просто казваме, че тази граница всъщност съществува. И ако тази граница съществува, просто наричаме тази стойност f '(с). Това е просто преговор върху диференцируемост. Нека сега си направим преговор върху непрекъснатост. Непрекъснатост. Дефиницията за непрекъснатост е: ако границата при х, клонящо към с, на f(x) е равна на f(c). Това може да ти изглежда малко... Може да ти се стори малко очевидно или пък да се зачудиш откъде дойде. Нека го визуализираме и се надявам, че ще стане ясно. Ако имаме една функция... Хайде всъщност да разгледаме някои случаи, които са прекъснати. Това всъщност може да направи нещата малко по-ясни. Ако имахме прекъсване в точка х = с... Това е х = с. Ако имахме прекъсване... Нека го начертая така. Имаме дупка тук, където х е равно на с, а f(с) всъщност е чак тук горе. Това е f(c). После функцията си продължава ето така. Границата при х, клонящо към с, на f(x) ще бъде тази стойност, която очевидно е различна от f(c). Тази стойност тук... Ако смяташ границата при х, клонящо към с, на f(x), ще приближаваш тази стойност. Това тук е границата при х, клонящо към с, на f(x), което е различно от f(c). Следователно тази дефиниция за непрекъснатост изглежда правилна поне за този случай. Тъй като това е прекъсната функция, имаме точка на прекъсване. Поне за този случай тази дефиниция за непрекъснатост правилно ще определи, че това е прекъсната функция. Можем да разгледаме също и напрекъснатост със скок. Нека разгледаме това. Надявам се, че всичко това е малко като преговор. Прекъснатост със скок при х= с може да изглежда ето така. Това е при х равно с. Това тук е х = с. Това ще е f(c). Ако се опиташ да намериш стойността на границата при х, клонящо към с, на f(x), ще получиш различна стойност. Приближавайки с откъм отрицателната страна, ще приближаваш тази стойност, а ако приближаваш с откъм положителната страна, ще клониш към f(c), следователно границата няма да съществува. Тази граница тук няма да съществува в случаите на прекъснатост с такъв вид скок. Отново дефиницията правилно ще определи, че това е прекъснато, и че тази граница всъщност няма даже да съществува. Сега можем да разгледаме функция, която наистина е непрекъсната. Ако разглеждаме функция, която наистина е непрекъсната... Нещо като това. Това е х = с. Това е f(c). Ако сметнеш границата при х, клонящо към с, от която и да е страна на f(x), ще приближаваш f(c). Тук имаме, че границата при х, клонящо към с, на f(x) наистина е равна на f(c). Това се очаква от една непрекъсната функция. След като направихме този преговор върху диференцируемост и непрекъснатоност, нека докажем, че диференцируемост всъщност води и до непрекъснатост. Мисля, че е важно да направим този преговор, просто за да можеш наистина да си представиш нещата. Диференцируемостта означава, че тази граница тук съществува. Нека започнем с малко по-различна граница. Нека начертая пунктирана линия, за да е ясно, че правим нещо различно. Нека сметнем границата при х, клонящо към с, на f(x) минус f(c). F(x) минус f(c). Можем ли да запишем това по друг начин? Можем да запишем това като границата при х, клонящо към с, и по същество можем да вземем този израз и да умножим и да разделим на х – с. Нека го умножим по х – с и да го разделим на х – с. Получаваме f(x) минус f(c), цялото върху х – с. Просто умножих и разделих на х – с. На какво ще е равна тази граница? Тя ще е равна на... Просто прилагам свойството на границите. Границата на произведение е равна на произведението от границите. Границата при х, клонящо към с, на х минус с по границата... Нека го запиша така. По границата при х, клонящо към с, на f(x) минус f(c), цялото върху х минус с. Какво е това нещо тук? Ако приемем, че f е диференцируема при с, а ние правим това всъщност, трябваше с това да започна. Нека го приемем, тъй като искахме да покажем, че диференцируемостта доказва непрекъснатостта. Ако приемем, че f е диференцируема в точка с, тогава това тук ще бъде f прим от с. Видяхме, че това е същото нещо. Това е f прим от с. А какво е това нещо тук? Границата при х, клонящо към с, на х – с? Това ще бъде просто 0. При х, клонящо към с, това ще стане с минус с, което ще е просто 0. Колко е 0 по f'(с)? f'(с) ще бъде просто някаква стойност. 0 по каквото и да е ще бъде просто 0. Направих всичко това, за да получа 0. Защо това е интересно? Току що приехме, че ако f е диференцируема при с и пресметнем тази граница, получаваме 0. Ако приемем, че f е диференцируема при с, можем да запишем границата... Просто я записвам отново. Границата при х, клонящо към с, на f(x) минус f(c)... Мога дори да сложа около това скоби ето така, което вече направих тук горе. Равно на 0. Това е същото нещо... Мога пак да използвам свойствата на границите. Това е същото нещо като... Ще го направя отново. Нека отида тук долу. Границата при х, клонящо към с, на f(x) минус границата при х, клонящо към с, на f(c) е равно на 0. Границата на разлика е същото нещо като разликата на границите. Какво ще бъде това нещо тук? f(c) е просто число. Не е функция на х вече. f(c) ще бъде нещо... Това ще бъде просто f(c). Границата на f(x) при х, клонящо към с, минус f(c) е равна на 0. Какво ще получиш, ако добавиш от двете страни f(c)? Получаваш границата при х, клонящо към с, на f(x) равно на f(c), което е дефиницията за непрекъснатост. Границата на моята функция при х, клонящо към с, е равна на стойността на функцията при с. Това означава, че нашата функция е непрекъсната. Непрекъсната при с. Просто като напомняне. Започнахме като приехме, че f е диференцируема при с, използвахме този факт, за да пресметнем тук границата, получихме, че тя е 0, и ако тази граница е равна на 0, тогава след малко сметки и използване на свойствата на границите, следва че границата при х, клонящо към с, на f(x) е равна на f(c), което е нашата дефиниция за непрекъснатост. Непрекъснатост в точка с. Надявам се, че това те удовлетворява. Ако знаем, че производната съществува в дадена точка, ако функцията е диференцируема за точка с, това означава, че също е и непрекъсната в тази точка. Функцията също е непрекъсната в тази точка.