Основно съдържание

Диференциално смятане

Курс: Диференциално смятане > Раздел 3

Урок 1: Верижно правило или правило за диференциране на сложна функция

Верижно правило или правило за диференциране на сложна функция

Верижното правило ни казва как да намираме производната на сложна функция. Преговори наученото за сложните функции и се научи как правилно да прилагаш правилно за тяхното диференциране.

Правилото за диференциране на сложна функция гласи:

\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

То ни казва как да диференцираме сложни функции.

Кратък преговор на сложни функции

Една функция е сложна, ако можеш да я запишеш като

f (g (x))

. С други думи тя е функция в друга функция или функция на друга функция.

Например

\cos (x^{2})

е сложна функция, защото ако

f (x) = \cos (x)

g (x) = x^{2}

, тогава

\cos (x^{2}) = f (g (x))

g

е функцията в

f

, затова наричаме

g

"вътрешна" функция, а

f

"външна" функция.

\underset{външна}{\underset{⏟}{\cos (\overset{вътрешна}{\overset{⏞}{x^{2}}})}}

От друга страна,

\cos (x) \cdot x^{2}

не е сложна функция. Тя е произведението на функциите

f (x) = \cos (x)

g (x) = x^{2}

, но нито едната не е функция в другата.

Задача 1

$g (x) = \ln (\sin (x))$ ‍ сложна функция ли е? Ако да, коя е "вътрешната" и коя е "външната" функция?

(Избор А)
$g$ ‍ е сложна функция. "Вътрешната" функция е $\ln (x)$ ‍, а "външната" функция е $\sin (x)$ ‍.
(Избор Б)
$g$ ‍ е сложна функция. "Вътрешната" функция е $\sin (x)$ ‍, а "външната" функция е $\ln (x)$ ‍.
(Избор В)
$g$ ‍ не е сложна функция.

Често срещана грешка: Да не разграничаваме кога една функция е сложна и кога не е

Обикновено единственият начин да диференцираме сложна функция е като използваме верижното правило. Ако не разпознаем, че една функция е сложна и че трябва да приложим верижното правило, няма да успеем да я диференцираме правилно.

От друга страна, ако използваме верижното правило върху функция, която не е сложна, отново ще получим грешна производна.

Особено при трансцендентни функции (например тригонометрични и логаритмични), учениците често бъркат композиции като

\ln (\sin (x))

с произведения като

\ln (x) \sin (x)

Задача 2

$h (x) = \cos^{2} (x)$ ‍ сложна функция ли е? Ако да, коя е "вътрешната" и коя е "външната" функция?

(Избор А)
$h$ ‍ е сложна функция. "Вътрешната" функция е $\cos (x)$ ‍, а "външната" функция е $x^{2}$ ‍.
(Избор Б)
$h$ ‍ е сложна функция. "Вътрешната" функция е $x^{2}$ ‍, а "външната" функция е $\cos (x)$ ‍.
(Избор В)
$h$ ‍ не е сложна функция.

Искаш ли да се упражняваш още? Опитай това упражнение.

Често срещана грешка: Грешно определяне на вътрешната и външната функция

Дори когато учениците разберат, че една функция е сложна, те може да объркат коя е вътрешната и коя външната функция. Това със сигурност ще доведе до грешна производна.

Например при сложната функция

\cos^{2} (x)

външната функция е

x^{2}

, а вътрешната функция е

\cos (x)

. Учениците често бъркат този вид функции и си мислят, че

\cos (x)

е външната функция.

Решен пример с прилагане на верижното правило

Нека видим как верижното правило се прилага при диференциране на

h (x) = (5 - 6 x)^{5}

. Забележи, че

h

е сложна функция:

\begin{aligned} h (x) & = \underset{външна}{\underset{⏟}{(\overset{вътрешна}{\overset{⏞}{5 - 6 x}})^{5}}} \\ g (x) & = 5 - 6 x & вътрешна функция \\ f (x) & = x^{5} & външна функция \end{aligned}

Тъй като

h

е сложна функция, можем да я диференцираме, използвайки верижното правило:

\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

Изказано с думи правилото за диференциране на сложна функция (верижното правило) гласи, че производната на една сложна функция е равна на вътрешната функция

g

в производната на външната функция

f^{'}

, умножена по производната на вътрешната функция

g^{'}

Преди да приложим правилото, хайде да намерим производните на вътрешната и външната функция:

\begin{aligned} g^{'} (x) & = - 6 \\ f^{'} (x) & = 5 x^{4} \end{aligned}

Сега нека приложим верижното правило:

\begin{aligned} \frac{d}{d x} [f (g (x))] \\ = & f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) \\ = & 5 (5 - 6 x)^{4} \cdot - 6 \\ = & - 30 (5 - 6 x)^{4} \end{aligned}

Упражни прилагането на верижното правило

Задача 3.а

Упражнение 3 ще ни преведе през стъпките за диференциране на

\sin (2 x^{3} - 4 x)

Коя е вътрешната и коя външната функция в $\sin (2 x^{3} - 4 x)$ ‍?

(Избор А)
Вътрешната функция е $\sin (x)$ ‍, а външната функция е $2 x^{3} - 4 x$ ‍.
(Избор Б)
Вътрешната функция е $2 x^{3} - 4 x$ ‍, а външната функция е $\sin (x)$ ‍.
(Избор В)
Вътрешната функция е $2 x^{3}$ ‍, а външната функция е $- 4 x$ ‍.
(Избор Г)
Вътрешната функция е $- 4 x$ ‍, а външната функция е $2 x^{3}$ ‍.

Задача 4

\frac{d}{d x} [\sqrt{\cos (x)}] = ?

Искаш ли да се упражняваш още? Опитай това упражнение.

Задача 5

$x$ ‍	$f (x)$ ‍	$h (x)$ ‍	$f^{'} (x)$ ‍	$h^{'} (x)$ ‍
$- 1$ ‍	$9$ ‍	$- 1$ ‍	$- 5$ ‍	$- 6$ ‍
$2$ ‍	$3$ ‍	$- 1$ ‍	$1$ ‍	$6$ ‍

G (x) = f (h (x))

G^{'} (2) =

Искаш ли още да се упражняваш? Опитай това упражнение.

Задача 6

Кати опитала да намери производната на

(2 x^{2} - 4)^{3}

. Това е нейното решение:

Стъпка 1: Нека

f (x) = x^{3}

g (x) = 2 x^{2} - 4

, тогава

(2 x^{2} - 4)^{3} = f (g (x))

Стъпка 2:

f^{'} (x) = 3 x^{2}

Стъпка 3: Производната е

f^{'} (g (x))

\frac{d}{d x} [(2 x^{2} - 4)^{3}] = 3 (2 x^{2} - 4)^{2}

Вярно ли е решението на Кати? Ако не, каква е нейната грешка?

(Избор А)
Решението на Кати е вярно.
(Избор Б)
Стъпка 1 е грешна. $(2 x^{2} - 4)^{3}$ ‍ е равно на $g (f (x))$ ‍, а не на $f (g (x))$ ‍.
(Избор В)
Стъпка 2 е грешна. Производната на $f$ ‍ не е $3 x^{2}$ ‍.
(Избор Г)
Стъпка 3 е грешна. Производната не е $f^{'} (g (x))$ ‍.

Често срещана грешка: Да забравим да умножим по производната на вътрешната функция

Често срещана грешка при ученици е да диференцират само външната функция, при което се получава

f^{'} (g (x))

, а всъщност правилната производна е

f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

Друга често срещана грешка: Пресмятането на $f^{'} (g^{'} (x))$ ‍

Друга често срещана грешка е да диференцираме

f (g (x))

като съставена от производните

f^{'} (g^{'} (x))

Това също е грешно. Функцията, която трябва да е в

f^{'} (x)

, е

g (x)

, а не

g^{'} (x)

Запомни: Производната на $f (g (x))$ ‍ е $f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$ ‍. Не $f^{'} (g (x))$ ‍ и не $f^{'} (g^{'} (x))$ ‍.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.