Верижно правило или правило за диференциране на сложна функция

В настоящия урок ще преминем през един от основните принципи в анализа. Ще го използваш всеки път, когато намираш производна на нещо, което е сравнително сложно. Нарича се "верижно правило". Когато за първи път го срещнеш, може да изглежда малко плашещо и оплетено. Но като виждаш отново в повече примери, започва да придобива смисъл, и, надявам се, започва да изглежда по-лесно и разбираемо с времето. Нека да кажем, че имам функция... Нека да кажем, че имам функция h(x), която е равна на... само като пример, да кажем, че е равна на sinx, нека изберем да е равна на (sinx)^2. Това можех да го запиша по следния начин, sin^2 (x), но е малко по-ясно, като използвам този запис. Нека да остане така, тоест дадена е h(x). Това, за което съм любопитен, е каква е h'(x)? Искам да намеря h'(x), като друг начин да се запише е производната на h спрямо x. Това е просто различен запис. И за да направя това, ще използвам верижното правило. Ще приложа верижното правило. Верижното правило взема участие всеки път, когато функцията може да се представи като съставена от повече от една функция. Това може да не изглежда очевидно сега, но се надявам да стане до края на урока или следващия такъв. Сега искам да направя малък мисловен експеримент. Ако те попитам каква е производната спрямо x, ако просто приложа означение за производна за x^2 спрямо x, какво ще получа? Това ми дава 2x. Виждали сме това много, много пъти. А какво ще се получи, ако търся производната спрямо а на а^2? Абсолютно същото нещо. Просто заменяме x с а. Това ще бъде равно на 2а. Сега ще направя нещо, което може да е малко странно. Какво ще се получи, ако търся производната спрямо sinx (sinx)^2? Където имах x-ове или a-та ето тук, просто ги замествам със sinx. Така че това просто ще бъде два пъти по това, което имах, тоест това, спрямо което търся производната. Тук беше спрямо x. Тук спрямо a. А тук спрямо sinx. Следователно ще бъде 2sinx. Верижното правило ни казва, че тази производна ще бъде производната на цялата функция спрямо... или производната на тази външна функция x^2, производната на x, повдигнато на квадрат, производната на тази външна функция спрямо sinx. И така, това ще бъде 2sinx, 2 sinx. Може да я разглеждаме като производната на външната функция спрямо вътрешната, 2sinx. Може да разглеждаме sinx като вид променлива x. И би било просто 2x, но вместо това е sinx. Казваме 2sinx, умножено по производната... правя го в зелен цвят, умножено по производната на sinx спрямо x. Умножено по производната на sinx спрямо x, Е, това е по-праволинейно, малко по-интуитивно. Производната на sinx спрямо x... виждали сме го множество пъти, е cosx. Така че, умножено по cosx. Ето, че приложихме верижното правило. То гласи, че намираме производната на външната функция спрямо вътрешната... Следователно производната на (sinx)^2 спрямо sinx е 2sinx, а след това умножаваме това по производната на sinx спрямо x. Нека да го изясня. Това тук е производната. Намираме производната на f, намираме производната на (sinx)^2. Нека да го изясня. Ето това е, на което търсим производната спрямо sinx. Спрямо sinx. След това умножаваме това по производната на sinx, производната на синус от x спрямо x. И тук е моментът, когато започваш да придобиваш усещане. Действително не можеш да разглеждаш тези диференциали, това d, това dx, това d(sinx), като число. Наистина не можеш. Този запис изглежда като обикновена дроб, защото интуитивно това е, което правим. Но ако ги разглеждаш като дроби, тогава може да искаш да съкратиш това и това. И още веднъж, това не е строго така, но помага за придобиване на усещане. Тогава това, с което оставаш, е производната на цялото това (sinx)^2 спрямо x. И така, оставаш с... оставаш с производната на първоначалната функция, която е (sinx)^2 спрямо x, спрямо x, което е точно dh/dx. Това ето тук. Това ето тук е първоначалната функция h. Това е първоначалната функция h. Сега може да изглежда малко объркващо. В следващия урок ще направя още няколко примера и тогава ще се опитаме малко да обобщим това.