Решен пример: Намиране на производната на функцията cos³(x) с помощта на правилото за диференциране на сложна функция

Да кажем, че имаме функцията f(x), която е равна на cosx на трета степен, което може да се запише и така: cosх на трета. Интересуваме се на колко е равно f прим от х. Търсим колко е f прим от х, и както ще видим, верижното правило за диференциране ще е много полезно тук. Първо ще приложа верижното правило и тогава може би ще навлезна малко повече, за да се уверя, че правим връзката между това, което правим тук и това, което може би ще видиш в учебниците ти по Математически анализ, където е обяснено верижното правило за диференциране. Ако имаме функция, която е дефинирана като сложна функция... Виж този израз тук, ние смятаме нещо, което е на трета степен. То не е само х на трета. Ние смятаме cosх на трета. Може да го разглеждаш, сякаш смятаме функцията cosx и тогава вкарваме това като аргумент в друга функция, която го вдига на трета степен. Нека поставим нещата така. Ако разглеждаме... Ако вземем х и го поставим в една функция, и тази първа функция е cosx... Първо пресмятаме косинуса, който ще ни даде cosx. Тогава ще вкараме това във функция, която го повдига на трета степен. Тя само повдига нещата на трета степен. Какво ще получим накрая? Ще получим... Какво повдигаш на трета степен? Повдигаш cosx. Cosx на трета. Това е сложна функция. Може да разглеждаш това като функцията... Нека наречем тази синята функцията v, а тази функцията u. Ако вкараме х в u, това ще е u от х. Тогава ако вкараме като аргумент u(x) във функцията v, тогава получената стойност тук ще бъде v от... аргумента. v от u(x). Или записано по друг начин... Ще го запиша по няколко начини. Това е същото нещо като v от cosx. Следователно v повдига на трета това, което сме поставили като аргумент в нея. Ако запиша v(x), ще бъде х на трета степен. Верижното правило ни казва, т.е. верижното правило е това, което мозъкът ни трябва да каже: "Хей, приложимо е, ако ще смятаме производната на функция, която може да се изрази като сложна функция като тази." Нека бъде ясно. Можем да запишем f(x) равно на v от u(x). Знам, че по същество казвам едно и също нещо отново и отново, но го казвам в малко по-различни варианти, защото първия път, когато учиш това, може да е малко сложно за схващане и трябва да се вникне в него. Затова ще се опитам да го запиша по различни начини. А верижното правило ни казва, че ако имаме ситуация като тази, тогава производната f прим от х... и това е нещо, което ще видиш в учебниците... Това ще бъде производната на това цялото нещо спрямо u(x). Затова можем да запишем това като v прим от u(x) по производната на u спрямо х. Това тук. Този е един от записите на верижното правило. Как го пресмятаме в този случай? Нека го направя с подходящи цветове. Функцията v, външното нещо, което просто вдига нещата на трета степен, ще направя в синьо. f прим от х, записано по друг начин, използвайки повече диференциални изрази, може да се разгледа като производната на... Ще го запиша по няколко различни начина. Може да се разгледа като производната на v спрямо u... Искам да са правилни цветовете. Производната на v спрямо u... това е това нещо тук... по производната на u спрямо х. По производната на u спрямо х. И за да бъде ясно, за да сме запознати с различния запис, който се среща в различните учебници. Това е това тук, използвайки различен запис, а това е това тук. Нека всъщност пресметнем тези неща. Сигурно е изморително да говорим толкова абстрактно. Следователно това ще бъде равно на... Ще го запиша отново. Това е производната... Вместо да запиша само v и u, ще го запиша така. Това ще бъде... Използвам грешните цветове. Това ще бъде производната на... ще оставя малко място... по производната на друго нещо спрямо нещо друго. Първо ще трябва да вземем производната на v. V e cosx на трета. Ще сметнем производната на това спрямо u, което е само cosx, и ще умножим това по производната на u, което е cosx спрямо х. Това е добре. Виждали сме го преди. Знаем, че производната спрямо х на cosx... Ще използвам същия цвят. Производната на cosx е равна на –sinx. Това тук ще е –sinx. Може да ти е по-познат този знак за производна, но в теорията няма да го видиш много често, но това помага на моя мозък да схване какво правим. Смятаме производната на cosx спрямо х. Това ще бъде –sinx. Какво става с производната на cosx на трета спрямо cosx? Какво означава това нещо тук? Ако смятахме производната на... Нека го запиша така. Ако смятахме производната на х на трета спрямо х... Ако беше така, това ще да бъде... и нека сложа скоби тук, за да бъде по-ясно. Ако смятам производната на това, това ще бъде... Изкарваме степента отпред. Това ще бъде 3 по х на втора степен. 3 по х на втора степен. Основната идея тук е, че ако смятаме производната на нещо, каквото и да се окаже това... Нека го направя в нов цвят. Смятам производната на оранжев кръг на трета степен спрямо оранжев кръг. Това ще бъде просто 3 по оранжев или по-скоро жълт кръг. Нека наистина го направя оранжев кръг. Производната на оранжевия кръг на трета степен спрямо оранжев кръг, ще бъде 3 по оранжев кръг на квадрат. Смятам производната на cosx на трета степен спрямо cosx. Това ще бъде просто 3 по cosx на втора степен. Забележи, че разглеждаме, сякаш смятаме производната на тази външна функция спрямо вътрешната. Правя същото нещо, сякаш смятам производната на х на трета, само че вместо х имам cosx. Затова вместо да бъде 3х на квадрат, ще получим 3cosx на квадрат. Тогава верижното правило казва: Ако искаме да получим производната спрямо х, тогава смятаме производната на cosx спрямо х. Знам, че е много дълго, но сме на финалната права. Намерихме производната. Ще бъде по това. Да видим. Това ще бъде –3 по sinx по квадрата на cos х. Знам, че това беше дълъг начин да го кажем. Опитвам се да обясня верижното правило в същото време. Но веднъж като схванеш как става, просто ще си кажеш: "Добре, нека сметна производната на външното на нещо на трета степен спрямо вътрешното." Нека просто разглеждам cosх като х. Това ще бъде 3 по квадрата на cos х. Това е тази част и тази част. Сега нека сметна производната на вътрешната спрямо х. Това е –sinx.