Основно съдържание

Диференциално смятане

Курс: Диференциално смятане > Раздел 3

Урок 7: Стратегия за диференциране на функции

Стратегия за диференциране на функции

Диференцирането има толкова много различни правила и има толкова много различни начини за тяхното прилагане! Нека погледнем по-отвисоко на диференцирането и да измислим начин на работа, който ще ни позволи да намираме ефикасно производната на всяка функция, без да правим грешки.

Много ученици, които учат Елементи на математическия анализ, знаят правилата за производните много добре и все пак се затрудняват при прилагането на правилното правило в правилната ситуация. За да премахнем затруднението, искаме да се научим бързо да категоризираме функциите, да знаем кое правило да използваме, и дори да записваме функциите в различни форми, за да си улесним диференцирането.

За справка тук са обобщени най-често срещаните правила за производните:

Наименование	Правило
Степен	$\frac{d}{d x} [x^{n}] = n \cdot x^{n - 1}$ ‍
Сбор	$\frac{d}{d x} [f (x) + g (x)] = f^{'} (x) + g^{'} (x)$ ‍
Произведение	$\frac{d}{d x} [f (x) \cdot g (x)] = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$ ‍
Частно	$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}] = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}$ ‍
Верижно	$\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ ‍

Ще се съсредоточим върху последните три правила, защото обикновено те са най-трудни за прилагане.

Разпознаване на произведение, частни и сложни функции

Повечето правила за производните ни казват как да диференцираме определен вид функции, като правилото за производната на

\sin (x)

или правилото за степенния показател.

Обаче има три много важни правила, които по принцип са приложими, и зависят от структурата на функцията, която диференцираме. Това са правилата за произведение, частно и верижното правило, затова внимавай за тях. Запитай се: "Виждам ли произведение, частно или композиция от функции?"

Произведение: Ако виждаш нещо като

(x^{2} + 1) \cdot \sin (x)

, означава че това е произведение на две функции. Тогава можеш да приложиш правилото за произведение.

Частно: Аналогично, ако виждаш нещо като

\frac{\sqrt{x}}{\cos (x)}

, означава че една функция е разделена на друга и трябва да приложим правилото за частно.

Сложна функция: Накрая, ако видиш функция като

(2 x^{2} - 4)^{5}

, опитай да я разгледаш като вътрешна и външна функция:

\underset{външна}{\underset{⏟}{(\overset{вътрешна}{\overset{⏞}{2 x^{2} - 4}})^{5}}}

Този тип функции се наричат сложни функции и можем да използваме верижното правило, за да намерим техните производни.

Задача 1

Джейк се опита да намери производната на

(x^{2} + 5 x) \cdot \sin (x)

. Това е неговото решение:

\begin{aligned} \frac{d}{d x} [(x^{2} + 5 x) \cdot \sin (x)] \\ = \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x] \cdot \frac{d}{d x} [\sin (x)] \\ = (2 x + 5) \cdot \cos (x) \\ = 2 x \cdot \cos (x) + 5 \cdot \cos (x) \end{aligned}

Вярно ли е решението на Джейк? Ако не, каква е неговата грешка?

(Избор А)
Решението на Джейк е вярно.
(Избор Б)
Решението на Джейк не е вярно. Той не е приложил правилно верижното правило.
(Избор В)
Решението на Джейк не е вярно. Той не е приложил правилно правилото за произведение.
(Избор Г)
Решението на Джейк не е вярно. Той не е диференцирал правилно $\sin (x)$ ‍.

[Покажи ми правилния начин]

Често срещана грешка: да забравим да приложим правилото за произведение или частно

Запомни: Пресмятането на произведението на производните не е същото като да приложиш правилото за произведение.

По същия начин пресмятането на частното на производните не е същото като да приложиш правилото за частно.

Задача 2

Леон се опита да намери производната на

\sin (x^{2} + 5 x)

. Това е неговото решение:

\begin{aligned} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} + 5 x)] \\ = \frac{d}{d x} [\sin (x) \cdot (x^{2} + 5 x)] \\ = \frac{d}{d x} [\sin (x)] \cdot (x^{2} + 5 x) + \sin (x) \cdot \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x] \\ = \cos (x) (x^{2} + 5 x) + \sin (x) (2 x + 5) \end{aligned}

Вярно ли е решението на Леон? Ако не, каква е неговата грешка?

(Избор А)
Решението на Леон е вярно.
(Избор Б)
Решението на Леон не е вярно. Той е приложил правилото за произведение, вместо да приложи верижното правило.
(Избор В)
Решението на Леон не е вярно. Той не е приложил правилно правилото за произведение.
(Избор Г)
Решението на Леон не е вярно. Той не е диференцирал правилно $x^{2} + 5 x$ ‍.

[Покажи ми правилния начин]

Често срещана грешка: Да объркаме записа на функциите с умножение

Както видяхме в Упражнение 2,

\sin (x^{2} + 5)

е сложна функция, в която външната функция е

\sin (x)

, а вътрешната функция е

x^{2} + 5

. Обаче някои хора се объркват от записа и смятат, че това е произведение

\sin (x) (x^{2} + 5)

. Това е съвсем друга функция и диференцирането ѝ ще доведе до грешна производна.

Можем да запишем функциите по друг начин, за да си улесним диференцирането.

Хайде да го приемем: прилагането на правилото за произведение, частно и верижното правило са трудна работа. Правилото за частно е доста взискателно. Защо тогава си правим труда да ги смятаме, ако не е нужно? Следващите три примера показват няколко произведение и частни, които могат да се запишат по друг начин, за да е по-лесно диференцирането им.

Да правим изразите по-лесни за диференциране не е само въпрос на удобство; Колкото по-просто и по-кратко е диференцирането, толкова по-малък е шанса да направим грешка!

Понякога можем да запишем едно произведение като прост полином.

Можем да приложим правилото за произведение, за да диференцираме

(x + 5) (x - 3)

, но това ще е доста по-трудно, отколкото е нужно. Вместо това можем просто да разширим израза до

x^{2} + 2 x - 15

и после да приложим правилото за степенния показател, за да получим производната:

2 x + 2

За да те убедя още повече, само виж колко по-сложно щеше да е, ако бяхме използвали правилото за произведение:

Правило за произведение	Правило за степенния показател
$\begin{aligned} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x - 3)] \\ = \frac{d}{d x} [x + 5] \cdot (x - 3) + (x + 5) \cdot \frac{d}{d x} [x - 3] \\ = (1) (x - 3) + (x + 5) (1) \\ = x - 3 + x + 5 \\ = 2 x + 2 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x - 3)] \\ = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15] \\ = 2 x + 2 \end{aligned}$ ‍

За да е ясно: и двата начина са верни, но използвайки правилото за степенния показател отнема по-малко време и има по-голям шанс да избегнем грешки в пресмятането.

Задача 3

f (x) = (3 - 8 x) (2 x - 7)

По какъв друг начин можем да запишем $f (x)$ ‍, за да можем да го диференцираме с правилото за степенния показател?

Аналогично някои задачи с правилото за частно могат да бъдат записани по друг начин, за да използваме правилото за степенния показател

Можем да използваме правилото за частно, за да намерим производната на

\frac{x^{6} - 8 x^{3}}{2 x^{2}}

. Обаче ще е по-лесно първо да разделим, получавайки

0, 5 x^{4} - 4 x

, и после да приложим правилото за степенния показател, за да получим производната на

2 x^{3} - 4

Ако го направим по дългия начин с правилото за частно, ще получим същия резултат. Обаче има по-голям шанс да направим някаква грешка при пресмятането.

[Покажи как това се прави с правилото за частно.]

Не всяко частно може да бъде записано по този начин. Например

\frac{x^{2} + 5 x - 14}{x - 7}

не може да бъде опростено като полином.

Запомни: Винаги можеш да използваш този метод за частни, в който знаменателят е едночлен.

Когато знаменателят е полином с повече от един член, трябва да можеш да го опростиш, изваждайки и съкращавайки общи множители.

Задача 4

f (x) = \frac{x^{5} - 2 x^{3} - 8 x^{2}}{x}

Последен пример: Записване на частно като произведение

За много хора правилото за произведение е по-лесно за запомняне от правилото за частно. За щастие винаги можем да запишем частното като произведение.

Да предположим, че искаме да диференцираме

\frac{\sqrt{x + 3}}{x^{4}}

, но не сме запомнили реда на пресмятане при правилото за частно. Първо можем да отделим числителя и знаменателя като отделни множители, а после да запишем знаменателя, използвайки отрицателна степен, за да нямаме частно.

\begin{aligned} \frac{\sqrt{x + 3}}{x^{4}} & = \sqrt{x + 3} \cdot \frac{1}{x^{4}} \\ = \sqrt{x + 3} \cdot x^{- 4} \end{aligned}

Сега ще сме готови да използваме правилото за произведение. (Забележи: ще използваме верижното правило, за сметнем външната част на функцията с корена.)

Задача 5

h (x) = \frac{\sin (x)}{3 x}

По какъв друг начин можеш да запишеш $h (x)$ ‍, за да можеш да го диференцираш, използвайки правилото за произведение?

Искаш ли да се упражняваш повече? Опитай това упражнение.

Често срещана трудност: Може да е много сложно записването на корени или реципрочни дроби със степенни показатели, ако не си добре запознат с процеса (пример:

\sqrt{x} = x^{1 / 2}

\frac{1}{x^{3}} = x^{- 3}

). Ако искаш малко допълнителни практика с това, разгледай тези упражнения:

Обобщение

Да си добър в пресмятането на производни изисква познаване на кои правила да използваш и кога да ги използваш. Изисква също да виждаш възможностите за записване на изрази по друг начин, за да се улесни диференцирането.

Това е диаграма, която обобщава този процес:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.