Основно съдържание

Диференциално смятане

Курс: Диференциално смятане > Раздел 3

Урок 7: Стратегия за диференциране на функции

Стратегия за диференциране на функции

Диференцирането има толкова много различни правила и има толкова много различни начини за тяхното прилагане! Нека погледнем по-отвисоко на диференцирането и да измислим начин на работа, който ще ни позволи да намираме ефикасно производната на всяка функция, без да правим грешки.

Много ученици, които учат Елементи на математическия анализ, знаят правилата за производните много добре и все пак се затрудняват при прилагането на правилното правило в правилната ситуация. За да премахнем затруднението, искаме да се научим бързо да категоризираме функциите, да знаем кое правило да използваме, и дори да записваме функциите в различни форми, за да си улесним диференцирането.

За справка тук са обобщени най-често срещаните правила за производните:

Наименование	Правило
Степен	start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, x, start superscript, n, end superscript, close bracket, equals, n, dot, x, start superscript, n, minus, 1, end superscript
Сбор	start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, plus, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, plus, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c
Произведение	start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, plus, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c
Частно	start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start fraction, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction, close bracket, equals, start fraction, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, minus, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, divided by, open bracket, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, close bracket, squared, end fraction
Верижно	start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #11accd, f, left parenthesis, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, right parenthesis, end color #11accd, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c

Ще се съсредоточим върху последните три правила, защото обикновено те са най-трудни за прилагане.

Разпознаване на произведение, частни и сложни функции

Повечето правила за производните ни казват как да диференцираме определен вид функции, като правилото за производната на sine, left parenthesis, x, right parenthesis или правилото за степенния показател.

Обаче има три много важни правила, които по принцип са приложими, и зависят от структурата на функцията, която диференцираме. Това са правилата за произведение, частно и верижното правило, затова внимавай за тях. Запитай се: "Виждам ли произведение, частно или композиция от функции?"

Произведение: Ако виждаш нещо като start color #11accd, left parenthesis, x, squared, plus, 1, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, означава че това е произведение на две функции. Тогава можеш да приложиш правилото за произведение.

Частно: Аналогично, ако виждаш нещо като start fraction, start color #11accd, square root of, x, end square root, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction, означава че една функция е разделена на друга и трябва да приложим правилото за частно.

Сложна функция: Накрая, ако видиш функция като left parenthesis, 2, x, squared, minus, 4, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript, опитай да я разгледаш като вътрешна и външна функция:

start color #11accd, start underbrace, left parenthesis, space, start color #ca337c, start overbrace, 2, x, squared, minus, 4, end overbrace, start superscript, start text, в, ъ, т, р, е, ш, н, а, end text, end superscript, space, end color #ca337c, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript, end underbrace, start subscript, start text, в, ъ, н, ш, н, а, end text, end subscript, end color #11accd

Този тип функции се наричат сложни функции и можем да използваме верижното правило, за да намерим техните производни.

Задача 1

Джейк се опита да намери производната на left parenthesis, x, squared, plus, 5, x, right parenthesis, dot, sine, left parenthesis, x, right parenthesis. Това е неговото решение:

\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{d}{dx}[(x^2+5x)\cdot\sin(x)] \\\\ &=\dfrac{d}{dx}[x^2+5x]\cdot\dfrac{d}{dx}[\sin(x)] \\\\ &=(2x+5)\cdot\cos(x) \\\\ &=2x\cdot\cos(x)+5\cdot\cos(x) \end{aligned}

Вярно ли е решението на Джейк? Ако не, каква е неговата грешка?

(Избор А)
Решението на Джейк е вярно.
(Избор Б)
Решението на Джейк не е вярно. Той не е приложил правилно верижното правило.
(Избор В)
Решението на Джейк не е вярно. Той не е приложил правилно правилото за произведение.
(Избор Г)
Решението на Джейк не е вярно. Той не е диференцирал правилно sine, left parenthesis, x, right parenthesis.

[Покажи ми правилния начин]

Често срещана грешка: да забравим да приложим правилото за произведение или частно

Запомни: Пресмятането на произведението на производните не е същото като да приложиш правилото за произведение.

По същия начин пресмятането на частното на производните не е същото като да приложиш правилото за частно.

Задача 2

Леон се опита да намери производната на sine, left parenthesis, x, squared, plus, 5, x, right parenthesis. Това е неговото решение:

\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2+5x)] \\\\ &=\dfrac{d}{dx}[\sin(x)\cdot(x^2+5x)] \\\\ &=\dfrac{d}{dx}[\sin(x)]\cdot(x^2+5x)+\sin(x)\cdot\dfrac{d}{dx}[x^2+5x] \\\\ &=\cos(x)(x^2+5x)+\sin(x)(2x+5) \end{aligned}

Вярно ли е решението на Леон? Ако не, каква е неговата грешка?

(Избор А)
Решението на Леон е вярно.
(Избор Б)
Решението на Леон не е вярно. Той е приложил правилото за произведение, вместо да приложи верижното правило.
(Избор В)
Решението на Леон не е вярно. Той не е приложил правилно правилото за произведение.
(Избор Г)
Решението на Леон не е вярно. Той не е диференцирал правилно x, squared, plus, 5, x.

[Покажи ми правилния начин]

Често срещана грешка: Да объркаме записа на функциите с умножение

Както видяхме в Упражнение 2, start color #11accd, sine, left parenthesis, start color #ca337c, x, squared, plus, 5, end color #ca337c, right parenthesis, end color #11accd е сложна функция, в която външната функция е start color #11accd, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, а вътрешната функция е start color #ca337c, x, squared, plus, 5, end color #ca337c. Обаче някои хора се объркват от записа и смятат, че това е произведение start color #11accd, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, left parenthesis, x, squared, plus, 5, right parenthesis, end color #ca337c. Това е съвсем друга функция и диференцирането ѝ ще доведе до грешна производна.

Можем да запишем функциите по друг начин, за да си улесним диференцирането.

Хайде да го приемем: прилагането на правилото за произведение, частно и верижното правило са трудна работа. Правилото за частно е доста взискателно. Защо тогава си правим труда да ги смятаме, ако не е нужно? Следващите три примера показват няколко произведение и частни, които могат да се запишат по друг начин, за да е по-лесно диференцирането им.

Да правим изразите по-лесни за диференциране не е само въпрос на удобство; Колкото по-просто и по-кратко е диференцирането, толкова по-малък е шанса да направим грешка!

Понякога можем да запишем едно произведение като прост полином.

Можем да приложим правилото за произведение, за да диференцираме left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, но това ще е доста по-трудно, отколкото е нужно. Вместо това можем просто да разширим израза до x, squared, plus, 2, x, minus, 15 и после да приложим правилото за степенния показател, за да получим производната: 2, x, plus, 2.

За да те убедя още повече, само виж колко по-сложно щеше да е, ако бяхме използвали правилото за произведение:

Правило за произведение	Правило за степенния показател
$\begin{aligned}&\phantom{=}\dfrac{d}{dx}[(x+5)(x-3)]\\\\&=\dfrac{d}{dx}[x+5]\cdot (x-3)+(x+5)\cdot \dfrac{d}{dx}[x-3]\\\\&=(1)(x-3)+(x+5)(1)\\\\&=x-3+x+5\\\\&=2x+2\end{aligned}$	$\begin{aligned}&\phantom{=}\dfrac{d}{dx}[(x+5)(x-3)]\\\\&=\dfrac{d}{dx}[x^2+2x-15]\\\\&=2x+2\end{aligned}$

За да е ясно: и двата начина са верни, но използвайки правилото за степенния показател отнема по-малко време и има по-голям шанс да избегнем грешки в пресмятането.

Задача 3

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, minus, 8, x, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, minus, 7, right parenthesis

По какъв друг начин можем да запишем f, left parenthesis, x, right parenthesis, за да можем да го диференцираме с правилото за степенния показател?

(Избор А)
minus, 16, x, squared, plus, 62, x, minus, 21
(Избор Б)
3, left parenthesis, 2, x, minus, 7, right parenthesis, minus, 8, x, left parenthesis, 2, x, minus, 7, right parenthesis
(Избор В)
start fraction, 3, minus, 8, x, divided by, left parenthesis, 2, x, minus, 7, right parenthesis, start superscript, minus, 1, end superscript, end fraction
(Избор Г)
Това не е възможно.

Аналогично някои задачи с правилото за частно могат да бъдат записани по друг начин, за да използваме правилото за степенния показател

Можем да използваме правилото за частно, за да намерим производната на start fraction, x, start superscript, 6, end superscript, minus, 8, x, cubed, divided by, 2, x, squared, end fraction. Обаче ще е по-лесно първо да разделим, получавайки 0, comma, 5, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, x, и после да приложим правилото за степенния показател, за да получим производната на 2, x, cubed, minus, 4.

Ако го направим по дългия начин с правилото за частно, ще получим същия резултат. Обаче има по-голям шанс да направим някаква грешка при пресмятането.

[Покажи как това се прави с правилото за частно.]

Не всяко частно може да бъде записано по този начин. Например start fraction, x, squared, plus, 5, x, minus, 14, divided by, x, minus, 7, end fraction не може да бъде опростено като полином.

Запомни: Винаги можеш да използваш този метод за частни, в който знаменателят е едночлен.

Когато знаменателят е полином с повече от един член, трябва да можеш да го опростиш, изваждайки и съкращавайки общи множители.

Задача 4

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, start superscript, 5, end superscript, minus, 2, x, cubed, minus, 8, x, squared, divided by, x, end fraction

(Избор А)
x, start superscript, 4, end superscript, minus, 2, x, squared, minus, 8, x
(Избор Б)
start fraction, x, start superscript, 5, end superscript, divided by, x, end fraction, minus, start fraction, 2, x, cubed, divided by, x, end fraction, minus, start fraction, 8, x, squared, divided by, x, end fraction
(Избор В)
x, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, start superscript, 5, end superscript, minus, 2, x, cubed, minus, 8, x, squared, right parenthesis
(Избор Г)
Това не е възможно.

Последен пример: Записване на частно като произведение

За много хора правилото за произведение е по-лесно за запомняне от правилото за частно. За щастие винаги можем да запишем частното като произведение.

Да предположим, че искаме да диференцираме start fraction, square root of, x, plus, 3, end square root, divided by, x, start superscript, 4, end superscript, end fraction, но не сме запомнили реда на пресмятане при правилото за частно. Първо можем да отделим числителя и знаменателя като отделни множители, а после да запишем знаменателя, използвайки отрицателна степен, за да нямаме частно.

\begin{aligned}\dfrac{\sqrt{x+3}}{x^4}&=\sqrt{x+3}\cdot \dfrac{1}{x^4} \\\\ &=\sqrt{x+3}\cdot x^{-4} \end{aligned}

Сега ще сме готови да използваме правилото за произведение. (Забележи: ще използваме верижното правило, за сметнем външната част на функцията с корена.)

Задача 5

h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, 3, x, end fraction

По какъв друг начин можеш да запишеш h, left parenthesis, x, right parenthesis, за да можеш да го диференцираш, използвайки правилото за произведение?

(Избор А)
sine, left parenthesis, x, right parenthesis, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, x, start superscript, minus, 1, end superscript
(Избор Б)
start fraction, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, plus, x, plus, x, end fraction
(Избор В)
3, x, dot, sine, left parenthesis, x, right parenthesis
(Избор Г)
Това не е възможно.

Искаш ли да се упражняваш повече? Опитай това упражнение.

Често срещана трудност: Може да е много сложно записването на корени или реципрочни дроби със степенни показатели, ако не си добре запознат с процеса (пример: square root of, x, end square root, equals, x, start superscript, 1, slash, 2, end superscript и start fraction, 1, divided by, x, cubed, end fraction, equals, x, start superscript, minus, 3, end superscript). Ако искаш малко допълнителни практика с това, разгледай тези упражнения:

Обобщение

Да си добър в пресмятането на производни изисква познаване на кои правила да използваш и кога да ги използваш. Изисква също да виждаш възможностите за записване на изрази по друг начин, за да се улесни диференцирането.

Това е диаграма, която обобщава този процес:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.