Преобразуване на функции преди диференциране

Тук съм записал някои от правилата за диференциране, които използвахме в миналите видеа. Ако тези неща ти изглеждат непознати, ти препоръчвам да не гледаш това видео, защото в него ще говорим кога и как да прилагаме тези правила, можем ли алгебрично да преобразуваме изразите, за да използваме по-просто правило. Но това е бърз преговор. Това тук е правилото за производна от степен, което е много удобно при смятане на производни от х повдигнато на някаква степен. Можем да го използваме и със правилата за диференциране на сбор или разлика, за да смятаме производните на полиноми. Това е правилото за производна на произведение. Ако имаме израз, за който искаме да сметнем производната на произведение от две функции, тогава производната ще бъде производната на първата функция по втората функция плюс първата функция по производната на втората. Отново казвам, че ако това ти изглежда напълно непознато или ти е малко несигурно, изгледай видеата, направи упражненията за производна от степен и производна на произведение, или в този случай правилото за производна на частно. Правилото за производна на частно е малко по-сложно. Имаме практически видеа за него и винаги имам смесени чувства, защото ако не запомниш правилото за производна на частно, винаги можеш да преобразуваш частното в произведение, като изразиш това нещо отдолу като f(x) по g(x) на отрицателна степен. Можем да сметнем производната на комбинация от произведения с това четвърто правило тук, верижното правило. Ако нещо от това ти изглежда непознато, отново... Не гледай това видео. Това видео е за хора, които са запознати с всяко от тези правила за диференциране или техники за диференциране, и сега искат да помислят за стратегии как да изберем кога да приложим кое. Хайде да го направим това. Да кажем, че имам израза... Интересувам се от производната на х^2 + х – 2 върху х – 1. Кое от тези правила или техники трябва да използвам? Може веднага да си кажеш: "Хей, това изглежда като рационален израз." Мога да кажа, че това е моята f(x) тук, а това е моята g(x) тук, и мога да приложа правилото за частно. Това изглежда като частно от два израза. Можем да направим това, и ако направим всичките сметки правилно, ще получим верния отговор. Но в този случай е добре просто да си дадеш малко време и да осъзнаеш: "Добре, мога алгебрично да опростя това и може би да свърша по-малко работа?" Ако погледнеш нещата така, може да осъзнаеш: "Чакай, ами ако извадя общ множител в числителя, например х + 2 по х – 1." После можем да съкратим тези два члена и да си кажем: "Това ще е същото нещо като производната спрямо х на х + 2." Производната спрямо х на х + 2, което е много, много по-лесно, отколкото да се опитваш да приложиш правилото за производна на частно. Тук просто ще сметнем производната спрямо х на х, което ще бъде просто 1 и производната спрямо х на 2, което ще бъде просто 0. Следователно всичко се свежда до 1. Ако смятаме производната на това, като цяло просто използваме правилото за производна от степен. И отново само с прости алгебрични преобразувания нещата стават много по-прости. Хайде да направим още един пример. Да кажем, че някой иска от теб да сметнеш производната спрямо х на... Нека имаме (х^2 + 2х – 5)/х. Сигурно се изкушаваш да използваш правилото за частно, защото това изглежда като частно от два израза. Но тогава може да осъзнаеш, че има алгебрични операции, които можем да направим, за да опростим това. Може да изразим това като произведение. Може да кажем, че това е същото нещо като... Просто се фокусирам върху това, което е вътре в скобите. Това е същото нещо като х на степен –1 по (х^2 + 2х – 5), и тогава може да приложим правилото за производна на произведение. Има даже и по-добро опростяване. Можем да разделим всеки от тези едночлени на х, т.е. разглеждам варианта да умножим по 1/х всички членове. х на степен –1 е същото нещо като 1 върху х, и ако разделим х^2 на х, ще получим х. 2х делено на х ще бъде 2, а после –5 делено на х може да запишем като –5/х или –5 по х на степен –1. Сега да намерим производната на това е много по-лесно, отколкото като използваме правилото за частно или правилото за производна от степен. То ще бъде...Да видим... Това ще бъде 1, производната на 2 ще е 0, а тук макар че имаме отрицателна степен и може да изглежда малко плашещо, това просто го смятаме, използвайки правилото за производна от степен. Следователно –1 по –5 е +5 х на степен...Ако извадим 1 от –1, ще получим –2. След това алгебрично опростяване, става доста по-добре. Хайде да направим още няколко примера за разпознаване кога можем да опростяваме нещата до малко по-лесни неща. Да кажем, че се иска да намерим производната спрямо х и използваме х като променлива, спрямо която смятаме производната, но очевидно това важи за всяка променлива, която ползваме. Да кажем, че имаме корен квадратен от х върху х^2. Спри видеото и помисли как ще подходиш, ако искаш да намериш производната спрямо х на корен квадратен х върху х^2. Отново може да си кажеш, че това е частно от два израза и да се опиташ да приложиш правилото за частно, или пък може да забележиш, че това е същото нещо... Нека се фокусирам върху това, което е вътре в скобите... Може да разгледаш това като х на степен –2 по корен квадратен от х, и тогава може да използваш правилото за произведение, но може да се опрости още по-добре. Можем да си кажем, че това е същото като х на степен –2 по х на степен 1/2 и да използваме свойствата на степените, –2 плюс 1/2 е –3/2. Следователно това е производната на х на степен –3/2. Отново сметнахме нещо, което мислехме, че може да сметнем с правилото за частно или правилото за произведение, а сега това стана лесно, ако използваме правилото за производна от степен. Това ще бъде равно на... Изнасяме –3/2 отпред. –3/2х на степен –3/2 минус 1, което е –5/2. Преди да приложиш правилото за производна на частно и понякога правилото за производна на произведение, просто виж дали има алгебрично опростяване, понякога тригонометрично опростяване, което можеш да направиш, което улеснява работата ти, което прави нещата по-малко сложни. Като основен съвет: не мога да кажа, че винаги това ще е вярно, но ако си на изпит и смяташ нещо по много сложен начин, което става обикновено с правилото за частно, трябва да си кажеш: "Хей, изчакай! Преди да направя всички тези сметки и да приложа правилото за частно, дали не мога да опростя нещата." Хайде да направим още един пример. В този няма очевиден начин и много зависи от предпочитанията на хората, но да кажем, че искаме да сметнем производната спрямо х на 1/2х на степен –5... Извинявай! 1 върху 2х – 5. Веднага можем да приложим правилото за частно. Числителя го разглеждаме като f(x). Можеш да разглеждаш това като производната спрямо х, вместо на 2х – 5... Нека го направя в син цвят. (2х – 5) на степен –1. В тази ситуация можеш да използваш комбинация от правилото за производна от степен и верижното правило. g(x) е 2х – 5, а f от g(x) ще бъде целият този израз. Ако приложим верижното правило, това ще е производната на външната функция, нашето f(x), спрямо вътрешната функция. Производната на f от g(x) спрямо g(x). Това ще бъде минус... Ще изнеса минуса отпред. По същество тук прилагаме правилото за производна от степен. –2х – 5 на степен –2 и после умножаваме това по производната на вътрешната функция. Производната на вътрешната функция. Производната на 2х е 2. Производната на –5 е 0. Следователно ще бъде по 2 и разбира се можем да опростим. Получаваме 2 по всичко това. Нека направя още един пример тук, за да затвърдя всичко. Отново казвам, че няма един вариант. Няма вариант, по който задължително трябва да го направиш. Това е просто за да оцениш, че има множество подходи, по които да намериш този вид производни. Да кажем, че търсим производната на (2х +1)^2. Спри видеото и помисли как ще решим това. Единият вариант е просто да приложим верижното правило, както направихме преди. Тук ще бъде производната на външната спрямо вътрешната функция. Това ще бъде 2 по (2х + 1) на първа степен, тъй като изваждаме 1 от тук, по производната на вътрешната, която е просто 2. Следователно това ще е равно на 4 по (2х + 1), което е равно на... Ако разкрием скобите и умножим по 4, можем да запишем 8х + 4. Това е напълно правилен подход. Но има и други начини. Можем да разкрием скобите на (х + 1)^2. Може да кажем, че това е същото нещо като производната спрямо х на 2х^2, което е 4х^2, после 2 по произведението от тези елементи ще бъде плюс 4х + 1. Сега просто ще приложим правилото за производна на степен. Малко повечко сметки отпред, но можеш директно с правилото за производна от степен, за да получиш същото това нещо. Цялата идея тук е... Спри и огледай израза. Виж дали има начин да се опрости. Много ще е добре, ако успееш да се измъкнеш от ползването на правилото за частно, защото понякога е трудно да запомниш, а дори и като го помниш, може бързо да стане много сложно.