Прилагане на верижното правило два пъти

Нека да кажем, че y = sin(x^2), цялото на трета степен, което, разбира се, може да запишем и като (sin(x^2))^3. И това, което ни интересува, е, каква е производната на това спрямо x? Колко е dy/dx, което можем да запишем и като y'? Има няколко начина за разсъждение върху това. Това тук не е праволинеен израз, но може да забележиш, че имам нещо, което е повдигнато на трета степен. Всъщност, ако погледнем отвъд този израз, имаме нещо тук, което е повдигнато на трета степен. Един от начините да се справим с това, е да приложим верижното правило. Ако приложим верижното правило ще се получи производната на това отвън спрямо това отвътре или нещото, което е на трета степен. Производната на нещото, което е на трета степен спрямо това нещо. Следователно, ще се получи три, умножено по това нещо, на квадрат, умножено по производната спрямо x на това нещо, а в този случай нещото е синус. Нека да запиша това със син цвят, а то е sin(x^2). Това е sin(x^2). Без значение какво е имало в тези оранжеви скоби, просто го поставям в тези оранжеви скоби, и тези квадратни скоби тук. Научихме това от верижното правило. Нека да видим. Знаем, че първата част от този израз, е въпрос на опростяване. За втората част обаче трябва да намерим производната на sin(x^2). Сега искаме отново да приложим верижното правило. Следователно ще намеря производната, която е синус от нещо. Тоест, това ще бъде производната на това ще бъде синус от нещо спрямо нещо, т.е. това е косинус от това нещо, умножено по производната спрямо x, на това нещо. В този случай това нещо е x^2. И, разбира се, всичко това стои отпред. Получава се 3 умножено по sin(x^2), като синуса записвам ето така, на квадрат. Приближаваме се до резултата. Сега просто трябва да намерим производната на x^2 спрямо x, което вече сме виждали много пъти. Като използваме правилото за степенуване на степен това просто ще бъде 2x. Ако искахме да запишем dy/dx, нека да го запишем отделно, не би трябвало да ни отнеме много време. dy/dx ще го умножа три пъти по 2x, което ще бъде 6x. Дотук се справих с тези. Умножавам по синус на квадрат от x на квадрат, т.е. по (sin(x^2))^2 по cos(x^2). И сме готови с многократното приложение на верижното правило.