Произвондата на ln(x) чрез производната на 𝑒ˣ и диференциране на неявна функция

Знаем, че производната спрямо x на e^x e равна на e^x, което мисля, че е едно от най-прекрасните неща в математиката. Просто изгражда уважението ми към числото e. Но тук ще направим нещо друго, а не само ще възхваляваме числото e. Това, върху което искаме да помислим, е на какво е равна производната на обратната функция? На какво е равна производната спрямо x на натурален логаритъм от x? Правили сме това няколко пъти, при които знаем производната на функцията. Сега искаме да намерим производната на обратната функция. Какво може да направим? Нека y да е равно на натурален логаритъм от x. Това е друг начин да заявим, че y е степента, на която повдигаме e, за да получим x. Това е еквивалентно на твърдението, че e^y е равно на x. Сега може да намерим производната на двете страни на уравнението спрямо x. Нека да го направим. Производната на двете страни спрямо x е свързана с диференциране на неявна функция. Това е просто приложение на верижното правило. От лявата страна на уравнението ето тук, това ще бъде равно на производната на e на степен y спрямо y, което просто ще бъде равно на e на степен y, умножено по производната на y спрямо x. От дясната страна на уравнението ето тук, производната на x спрямо x е равна на 1. Сега, за да намерим от уравнението производната, просто разделяме двете страни на e на степен y. Намираме производната на y спрямо x, която е равна на 1 върху e^y. А на какво е равно y? Знаем, че y е равно на натурален логаритъм от x. Нека да го запишем. Това е равно на 1 върху e на степен натурален логаритъм от x. А на какво ще е равно e на степен натурален логаритъм от x? Натурален логаритъм от x е степента, на която трябва да повдигна e, за да получа x. Действително, ако повдигна e на тази степен, то ще получа x. Това ще бъде равно на 1 върху x. Следователно това се опростява до x. Готови сме. Току-що намерихме, че ако y е равно на натурален логаритъм от х, то производната на у спрямо х е равна на 1/х. Можеш да кажеш също, че производната на натурален логаритъм от х спрямо х е равен на 1/х. Тоест това ето тук е равно на 1/х. 1/х, което е също наистина прекрасен резултат в математиката. Не толкова вълнуващ като ето този, но все пак е прекрасен.