Диференциране на неявна функция (пример за напреднали)

Нека да приемем, че е дадена зависимостта y е равно на косинус от (5x – 3y). Искам да намеря, скоростта, с която y се изменя спрямо x. Ще предположим, че y е функция на x. Нека да направим това, което винаги сме правили. Нека да запишем означението за производна d/dx в двете страни на уравнението. От лявата страна, точно ето тук, получаваме dy/dx е равно на... Сега тук от дясната страна ще приложим верижното правило. Производната на косинус от нещо спрямо това нещо, ще бъде равна на минус синус от това нещо. Тоест минус синус от (5x – 3y). След това трябва да умножим това по производната на този израз спрямо x. А каква е производната на този израз спрямо x? Производната на 5x спрямо x e равна просто на 5. А производната на –3y спрямо x е просто минус 3 по dy/dx. Минус 3 по производната на y спрямо x. Сега просто трябва да решим уравнението за dy/dx. Както можеш да видиш, при някои от тези задачи за неявно диференциране това е трудната част. И всъщност, нека да направя това dy/dx в различен цвят, Така че да може да го следим по-лесно. Това ще бъде равно на dy/dx. И сега мога да затворя скобите. Как може да го решим? Просто ще използваме малко алгебра в този процес. Може да разкрием скобите за синус от (5x – 3y). Нека да запиша отново всичко. Получаваме dy... Ще направя това в жълт цвят. Получаваме, че dy/dx е равно на... Разкриваме скобите и умножаваме по минус синус от (5x – 3y). Нека да се уверя, че знаем какво правим. Ще се получи... ще умножим по този член и ще умножим по другия член. Ще получиш 5 по всичко това. Ще получиш минус това 5 по синус от (5x – 3y). След това ще получиш минус по минус, така че накрая ще се получи плюс. Накрая ще получиш плюс 3 по синус от 5x минус 3y по dy/dx. Сега може да извадим 3 по синус от (5x – 3y) от двете страни на уравнението. За да изясним, това е просто 1 по dy/dx. Ако извадим този израз от двете страни, ще получим следното. От лявата страна ще се получи 1 по dy/dx и от него ще извадим израза 3 по синус от (5x – 3y) по dy/dx. Ще бъде равно на 1 минус 3... ще запазя цвета на числото 3, за да е забавно. 3 по синус от (5x – 3y) по dy/dx от лявата страна. Лявата страна ще бъде равна на... Извадихме това от двете страни на уравнението. И така, от дясната страна този израз ще изчезне. Следователно ще остане минус 5 по синус от (5x – 3y). Вече сме в заключителната част. За да го решим за dy/dx, просто трябва да разделим двете страни на уравнението на този израз. Отляво ни остава, че dy/dx е равно на този израз, минус 5 по синус от (5x – 3y). Всичко това е върху 1 минус 3 по синус от (5x – 3y). И ето, че сме готови.