Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Разработен пример: Изчисляване на производни чрез диференциране на неявни функции

Сал намира наклонът на правата, допирателна към кривата ²+(y-x)³=28 в x=1, като използва диференциране на неявнии функции. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Решавали сме много примери, където намираме производни на неявни функции, но не сме изчислявали наклон на допирателна към дадена точка от функцията. А точно това искам да направя в настоящия урок. Искам да намеря наклона на допирателната за x равно на 1. Тоест, когато x е равно на 1. Както можеш да си представиш, когато намерим производната на тази неявна функция, то тя ще бъде функция на x и y. Следователно ще бъде полезно да знаем каква стойност приема y, когато x е равно на 1. Нека да направим това още сега. Когато x е равно на 1, уравнението, което ни е дадено, става 1 на квадрат, което е равно на 1, плюс( y – 1) на трета степен, и всичко е равно на 28. Изваждаме 1 от двете страни на уравнението. Получаваш (y – 1) на степен 3, което е равно на 27. Изглежда сякаш числата работят в наша полза. Намираме корен трети от двете страни на уравнението. Получаваш, че y – 1 е равно на 3. Прибавяме 1 към двете страни на уравнението. Получаваш, че y e равно на 4. Следователно, ние искаме да намерим наклона в точката (1; 4), която се намира ето тук. Когато x e равно на 1, то y e равно на 4. Искаме да намерим наклона на допирателната точно в тази точка. Нека да започнем да диференцираме неявната функция. Ще намерим производната на двете страни на тази връзка между двете променливи или това уравнение, в зависимост от начина, по който го разглеждаш. Нека да прескочим оранжевата част. Производната на x^2 спрямо x. ще бъде равна на 2x. След това производната спрямо x от нещо на трета степен ще бъде 3 пъти по това нещо, повдигнато на квадрат и умножено по производната на това нещо спрямо x. На какво е равна производната на това нещо спрямо x? Производната на y спрямо x е просто dy/dx. След това производната на x спрямо x е просто 1. Следователно получаваме минус 1. От дясната страна получаваме просто 0. Производната на константа е равна на 0. Сега следва да решим уравнението за dy/dx. И така, записваме 2x. Ако разкрием скобите и умножим този израз тук по dy/dx –1, когато умножим това по dy/dx, получаваме... ще го запиша ето тук... получаваме плюс 3 по (y – x)^2, умножено по dy/dx. След това, когато умножаваме по минус 1, получаваме минус 3 по (y – x)^2. След това, разбира се, всичко това е равно на 0. Всичко, което сега трябва да направим, е да вземем ето този израз и да го прехвърлим от дясната страна на уравнението. Следователно ще го извадим от двете страни на уравнението. От лявата страна, и всъщност, всичко, което не е dy/dx, ще запиша в зелен цвят. От лявата страна остава само 3 по (y – x)^2, умножено по dy/dx, т.е. производната на y спрямо x, която... просто ще извадя това от двете страни на уравнението: е равна на минус 2x плюс този израз. Мога да го запиша като 3 по (y – x)^2 минус 2x. Прибавяме този израз към двете страни на уравнението и го изваждаме от двете страни на уравнението. Минус 2x. След това следва да намерим от уравнението dy/dx, което сме правили вече множество пъти. Следва да получим на какво е равна производната на y спрямо x. Производната на y спрямо x ще бъде равна на 3 по (y – x)^2 минус 2x. Всичко това е върху този израз, т.е. 3 по (y – x)^2. Засега може да го оставим така. И на какво е равна производната на y спрямо x? Каква е стойността на наклона на допирателната, когато x = 1, а y е равно на 4? Е, просто трябва да заместим x равно на 1 и у е равно на 4 в този израз. Следователно ще бъде равно на 3 по (4 – 1) на квадрат минус 2 по 1. Целият този израз е върху 3 по (4 – 1) на квадрат, което е равно на 4 – 1 и е равно на 3. Повдигаш на квадрат. Получаваш 9. 9 по 3 е равно на 27. Получаваш 27 минус 2 в числител, което ще бъде равно на 25. А в знаменателя получаваш 3 по 9, което е равно на 27. Следователно наклонът е равен на 25/27. Стойността му е почти 1, но не точно. И точно по този начин изглежда на ето тази графика. И, за да се уверя, че знаеш откъде разполагам с тази графика: Това е от приложението Wolfram Alpha. Трябваше да ти кажа още от началото. Както и да е. Надявам се, че задачата ти е харесала.