Разработен пример: Изчисляване на производни чрез диференциране на неявни функции

Решавали сме много примери, където намираме производни на неявни функции, но не сме изчислявали наклон на допирателна към дадена точка от функцията. А точно това искам да направя в настоящия урок. Искам да намеря наклона на допирателната за x равно на 1. Тоест, когато x е равно на 1. Както можеш да си представиш, когато намерим производната на тази неявна функция, то тя ще бъде функция на x и y. Следователно ще бъде полезно да знаем каква стойност приема y, когато x е равно на 1. Нека да направим това още сега. Когато x е равно на 1, уравнението, което ни е дадено, става 1 на квадрат, което е равно на 1, плюс( y – 1) на трета степен, и всичко е равно на 28. Изваждаме 1 от двете страни на уравнението. Получаваш (y – 1) на степен 3, което е равно на 27. Изглежда сякаш числата работят в наша полза. Намираме корен трети от двете страни на уравнението. Получаваш, че y – 1 е равно на 3. Прибавяме 1 към двете страни на уравнението. Получаваш, че y e равно на 4. Следователно, ние искаме да намерим наклона в точката (1; 4), която се намира ето тук. Когато x e равно на 1, то y e равно на 4. Искаме да намерим наклона на допирателната точно в тази точка. Нека да започнем да диференцираме неявната функция. Ще намерим производната на двете страни на тази връзка между двете променливи или това уравнение, в зависимост от начина, по който го разглеждаш. Нека да прескочим оранжевата част. Производната на x^2 спрямо x. ще бъде равна на 2x. След това производната спрямо x от нещо на трета степен ще бъде 3 пъти по това нещо, повдигнато на квадрат и умножено по производната на това нещо спрямо x. На какво е равна производната на това нещо спрямо x? Производната на y спрямо x е просто dy/dx. След това производната на x спрямо x е просто 1. Следователно получаваме минус 1. От дясната страна получаваме просто 0. Производната на константа е равна на 0. Сега следва да решим уравнението за dy/dx. И така, записваме 2x. Ако разкрием скобите и умножим този израз тук по dy/dx –1, когато умножим това по dy/dx, получаваме... ще го запиша ето тук... получаваме плюс 3 по (y – x)^2, умножено по dy/dx. След това, когато умножаваме по минус 1, получаваме минус 3 по (y – x)^2. След това, разбира се, всичко това е равно на 0. Всичко, което сега трябва да направим, е да вземем ето този израз и да го прехвърлим от дясната страна на уравнението. Следователно ще го извадим от двете страни на уравнението. От лявата страна, и всъщност, всичко, което не е dy/dx, ще запиша в зелен цвят. От лявата страна остава само 3 по (y – x)^2, умножено по dy/dx, т.е. производната на y спрямо x, която... просто ще извадя това от двете страни на уравнението: е равна на минус 2x плюс този израз. Мога да го запиша като 3 по (y – x)^2 минус 2x. Прибавяме този израз към двете страни на уравнението и го изваждаме от двете страни на уравнението. Минус 2x. След това следва да намерим от уравнението dy/dx, което сме правили вече множество пъти. Следва да получим на какво е равна производната на y спрямо x. Производната на y спрямо x ще бъде равна на 3 по (y – x)^2 минус 2x. Всичко това е върху този израз, т.е. 3 по (y – x)^2. Засега може да го оставим така. И на какво е равна производната на y спрямо x? Каква е стойността на наклона на допирателната, когато x = 1, а y е равно на 4? Е, просто трябва да заместим x равно на 1 и у е равно на 4 в този израз. Следователно ще бъде равно на 3 по (4 – 1) на квадрат минус 2 по 1. Целият този израз е върху 3 по (4 – 1) на квадрат, което е равно на 4 – 1 и е равно на 3. Повдигаш на квадрат. Получаваш 9. 9 по 3 е равно на 27. Получаваш 27 минус 2 в числител, което ще бъде равно на 25. А в знаменателя получаваш 3 по 9, което е равно на 27. Следователно наклонът е равен на 25/27. Стойността му е почти 1, но не точно. И точно по този начин изглежда на ето тази графика. И, за да се уверя, че знаеш откъде разполагам с тази графика: Това е от приложението Wolfram Alpha. Трябваше да ти кажа още от началото. Както и да е. Надявам се, че задачата ти е харесала.