Диференциране на обратни функции

Нека да кажем, че имам две функции, които са обратни една на друга. Функцията f(x) и функцията g(x), която е равна на обратната на f(x). А f(x) също ще бъде обратната на g(x). Ако записа на обратна функция ти е съвсем непознат, те насърчавам да прегледаш "Обратни функции" в Кан Академия. Едно от свойствата на обратните функции е, че ако търсим g от f(x), g от f(x), или може да се нарече обратната на f от f(x), то тя просто ще бъде равнa на x. И се получава директно от определението за обратна функция. Ако това тук е x, функцията f отговаря на някаква стойност f(x). Това тук е f(x). Тогава функцията g, или обратната на f, ако поставиш f(x) в нея, ще те доведе обратно, ще те доведе обратно до x. Така че това ще бъде обратната на f или казваме, че g е същото като обратната на f. Дотук всичко е преговор на обратни функции, но сега ще приложим математически анализ към него като използваме верижното правило. И ще получим много интересен резултат. Това, което искам да направя, е да намеря производната на двете страни на това уравнение тук. Нека да приложим означението за производна d/dx от лявата страна, d/dx от дясната страна. И какво ще получим? От лявата страна ще приложим верижното правило. Следователно това ще бъде производната на g спрямо f(x). Това ще бъде g'(f(x)) умножено по производната на f(x) спрямо x, така че умножено по f'(x). Тогава това на какво ще бъде равно? Производната на x спрямо x е равна на 1. Тук е мястото, където получаваме нашия интересен резултат. Всичко, което направихме дотук, е, че използвахме нещо, което знаем за обратните функции, и приложихме верижното правило, за да намерим производната на лявата страна. Но ако разделиш двете страни на g'(f(x)), какво ще получиш? Ще получиш връзка между производната на функция и производната на обратната ѝ функция. Така получаваш, че f'(x) ще бъде равно на 1 върху всичко това, 1/g' от f(x) А това наистина е прекрасно, защото ако знаеш нещо за производната на функция, то може да откриеш неща за производната на обратната ѝ функция. Действително може да се уверим, че това е истина, чрез някои класически функции. Нека да кажем, че f(x) е равна на e^x. Следователно g(x) ще бъде равно на обратната на f. Обратната на f, която е... каква е обратната на e^x? Един от начините да мислиш за това, е, ако имаш, че y = e^x, и ако искаш обратната, може да размениш променливите, и отново да го решиш, но за y. Получаваш, че x = e^y. Намираш натурален логаритъм от двете страни, получаваш, че ln(x) = y. Следователно обратната на e^x e ln(x). Още веднъж, всичко това е преговор на обратни функции. Ако това не ти е познато, прегледай го в Кан Академия. g(x) ще бъде равно на натурален логаритъм ln(x) Нека да видим, дали това е вярно за тези две функции. Какво ще се получи за f'(x)? Ето това е един от онези удивителни резултати в анализа. Едно от онези прекрасни неща за числото "е", е, че производната на e^x = e^x. В други уроци видяхме също, че производната на естествен логаритъм ln(x) = 1/x. Нека да видим, дали и тук е валидно. Трябва да получим резултат, f'(x), т.е. e^x трябва да е равно на 1 върху g'(f(x)). И така g'(f(x)), g' e 1 върху f(x), а f(x) = e^x, т.е. 1/e^x Това наистина ли е вярно? Да, вярно е! 1/e^x просто ще бъде e^x. Всичко излиза. Може да го направиш и по другия начин, защото това са обратни една на друга функции. Може да кажеш, че g'(x) ще бъде равно на 1/f'(g(x)), защото са обратни една на друга. Наистина прекрасното тук, е, че действително можеш да използваш резултата, за да добиеш усещане, на какво е равна производната на обратна функция.