Производни на обратни функции: от таблица

Нека g и h да бъдат обратни една на друга функции. И нека само да си припомним какво означава, че са обратни функции. Това означава, че ако имаме две множества от стойности, нека да кажем едното е ето тук, а другото е ето там. Разглеждаме първото множество като дефиниционно множество на функцията g. Ако зададем някаква стойност x ето тук, g преобразува тази стойност x в друга стойност, която ще наричаме g(x). Това е нещото, което прави функцията g. Ако обаче h е обратната функция на g, то вярно е и обратното, h може да преобразува тази стойност g(x) и да я върне обратно в x. Следователно h ще прави ето това. h ни връща в първоначалната стойност. Това е нещото, което прави функцията h. Тогава може да разглеждаме ето тази точка тук като x, т.е. това е х. Но също така може да я разглеждаме и като h(g(x)). Следователно също може да я разглеждаме и като h(g(x)). Направих всичко това, за да можем наистина да разберем тази идея. Ако някой ти каже, че g и h са обратни една на друга функции, то това означава, че h(g(x)) = x. h(g(x)) = x h(g(x)) е равно на x Можеше да го означиш и обратно. Можеше да започнеш с... Можеш да го направиш по много различни начини, но и като g(h(x)). Тогава просто бих разменил тези букви ето тук. Буквените означения g и h са произволни. Можеше да кажеш също, че g(h(x)) е равно на х. И така, g(h(x)) = х След това е дадена някаква информация. В следната таблица са записани някои стойности за функциите g, h и g'. Добре, от нас се изисква да изчислим h'(3). Дори не са ни дали на какво е равна производната h'(3). Как да го намерим тогава? Дали са ни стойности за функциите g, h и g'. Как да намерим това? Тук действително ще извлечем нещо, което се основава на верижното правило. Това не е вид задача, която се среща често, но е интересна, така че ще преминем през нея и има шанс да се сблъскаш с нея в своя курс по анализ. Нека да започнем с кой да е от тези изрази тук горе. Нека да започнем с този израз. О, нека да започнем всъщност с този ето тук. Ако знаем, че g(h(x)) е равно на х, то ще поставим това h(x) обратно ето там, което е вярно и следва от дефиницията, че g и h са обратни функции. Нека сега да намерим производните на двете страни на това уравнение. Нека да намерим производната спрямо x на двете страни. Производна спрямо x. От лявата страна просто ще приложим верижното правило. Това ще бъде g'(h(x)). g'(h(x)) умножено по h'(x). Това тук е просто верижното правило. Тогава това ще бъде равно на... А на какво ще е равна производната на х спрямо x? Е, ще бъде равна просто на 1. Сега става интересно. Искаме да намерим на какво е равно h'(3). Може да намерим на какво е равно h(3), а след това да го използваме, за да намерим, на какво е равно g'(h(3)). По такъв начин следва да можем да намерим h'(x) или просто може да го запишем по следния начин. Може да запишем h'(x) е равно на 1 върху g'(h(x)). На някои места може да да те насърчат да запаметиш това, а може би за целта на упражненията в Кан Академия, може да искаш да го запаметиш, но ще ти кажа 20 години, т.е. почти 25 години след като взех курса по анализ, че това не е нещо, което съм запазил в дългосрочната си памет. Това, което запомних обаче е, че може да се изведе от дефиницията за това какво наистина са обратни функции. Но сега може да използваме това, ако искаме да намерим на какво е равно h'(3). h'(3) ще бъде равно на 1 върху g'(h(3)), което предполагам, че ни е дадено в задачата. За h(3) е дадено, че х е равно на 3, а h е равно на 4. Ето това тук е h(3). Тоест h(3) е равно на 4. Сега просто следва да намерим g'(4). За щастие, са ни дали информация, че за x равно на 4, то g' е равно на 1/2. Следователно g'(4) е равно на 1/2. Тогава h'(3) е равно на 1 върху 1/2. 1 върху 1/2. или 1, разделено на 1/2 е същото като 1 по 2. Следователно всичко това е равно на 2 и сме готови.