Производна на обратен синус (arcsine)

В настоящия урок искам да разгледам дали може да се намери производната на функцията y спрямо х. Функцията y е равна на синус от х на степен минус 1 (обратната функция на синус) Както винаги, насърчавам те да спреш видеото и да се опиташ да решиш задачата самостоятелно. Ще ти дам два съвета. Първият е...Е, ние не знаем на какво е равна производната на синус от х на степен минус 1, но знаем каква е производната на синус от нещо. Ако представиш функцията по друг начин и използваш неявно диференциране, може би ще намериш на какво е равно dy/dx. Припомни си това ето тук. Това ето тук е нашата цел. Но ти искаш да намериш производната на функцията y спрямо x Предполагам, че вече опита да я решиш. Нека го направим заедно сега. Ако y е обратната функция на синус от х, т.е. синус от х на степен минус 1, то това е еквивалентно на твърдението, че синус от у е равно на х. синус от у е равно на х. Сега разполагаме с неща, с които сме малко по-добре запознати, и може да приложим диференциране на неявна функция. Може да намерим производната на двете страни на равенството спрямо x. Производна на лявата страна спрямо х. И производната на дясната страна спрямо х. На какво ще бъде равна производната на лявата страна спрямо х? Тук просто ще приложим верижното правило. Ще бъде равна на производната на синус от у спрямо y, което ще бъде равно на косинус от у умножено по производната на y спрямо х. Тоест по dy/dx. А сега за дясната страна. На какво е равна производната спрямо x на х? Е, очевидно ще бъде равна на 1. Можем да решим уравнението за dy/dx. Разделяме двете страни на косинус от у. И получаваме, че производната на y спрямо x е равна на 1 върху косинус от у. Това все още не е задоволителен резултат, защото имам производната спрямо y. Нека да видим дали може да я изразим спрямо x. Как може да го направим? Е, вече знаем, че x е равно на синус от у. Нека да го запиша. Вече знаем, че x е равно на синус от у. Ако може да запишем този израз най-долу по друг начин, а не чрез косинус от у. Може да използваме тригонометричните тъждества, за да го запишем чрез синус от у. Тогава ще ни бъде удобно, защото x е равно на синус от у. Добре, как може да направим това? От тригонометричните тъждества знаем, че синус от y на квадрат плюс косинус от y на квадрат е равно на 1. Ако искаме да го решим за косинус от у, то ще извадим синус от x на квадрат от двете страни на уравнението. Знаем, че косинус от у на квадрат е равно на 1 минус синус от у на квадрат. Или, че косинус от у... просто намираме квадратен корен от двете страни на уравнението... е равно на квадратен корен от 1 минус синус от у на квадрат. Може да запишем това като равно на 1 върху... вместо косинус от у може да запишем... квадратен корен от 1 минус синус от у на квадрат. А защо това е полезно? Е, синус от у е просто равно на х. Следователно това е същото като да заместим...Нека просто да го запиша по следния начин, за да стане малко по-ясно. Мога да го запиша като синус от у на квадрат. Знаем, че това нещо ето тук е х. Това ще бъде равно на... ето тук заслужаваме поздравления... 1 върху квадратен корен от 1 минус х на квадрат, защото знаем, че х е равно на синус от у. Знаем, че х е равно на синус от у. Тогава записваме квадратен корен от 1 минус х на квадрат. Ето, че решихме задачата. Производната спрямо х на обратната функция на синус от х е равна на 1 върху квадратен корен от 1 минус х на квадрат. Нека да го поясня. Ако търсеше производната спрямо х на двете страни на това уравнение, то ще получиш, че dy/dx е равно на ето това от дясната страна. Или може да заявим, че производната спрямо х на обратната функция на синус от х, е равна на 1 върху квадратен корен от 1 минус х на квадрат. Винаги може да докажеш този резултат, ако го забравиш. И всъщност това е най-добрият начин наистина да го разбереш. Това също е добре да го знаеш, особено в началото на курса по анализ. Когато уроците се задълбочават все повече и повече и видиш този израз, може да си кажеш следното: Знаеш ли, това е производната на обратната функция на синус от х, което може би ще е полезно.