If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:6:02

Видео транскрипция

Вече знаем, че производната спрямо х на тангенс от х ще бъде равна на секанс на квадрат от х, което разбира се, е равно на същото нещо като 1 върху косинус на квадрат от х. Това, което искам да направим в настоящия урок, както направихме и в предните няколко, е да намерим производната на обратната функция на тангенс от х. И по-конкретно да проверим дали може да намерим производната спрямо х на обратната функция на тангенс от х. Насърчавам те да спреш видеото и да използваш метод, който е подобен или много близък до този, който използвахме в предните два урока, за да намериш производната. Нека да изберем у да е равно на обратната функция на тангенс от х. у е равно на тангенс на степен минус 1 от х (обратната функция на тангенс). Това е същото като да заявим, че тангенс от у е равно на х. За това, което направих, може да мислиш като за намиране на производната на двете страни на уравнението ето тук. Сега може да намерим производните на двете страни спрямо...Производните на двете страни спрямо х. В лявата страна може просто да приложим верижното правило. Производната на тангенс от у спрямо у ще бъде равно на секанс на квадрат от у, което е същото нещо като 1 върху косинус на квадрат от у. Предпочитам да го записвам по този начин. Мисля, че така изглежда поне малко по-просто в съзнанието ми. Когато обаче прилагаме верижното правило, то ще получим производната на тангенс от у спрямо у, умножено по производната на у спрямо х...По производната на у спрямо х, а от дясната страна, производната на х спрямо х, което просто ще бъде равно на 1. Ако искаме да решим уравнението за производната на у спрямо х, то просто умножаваме двете страни на уравнението по косинус на квадрат от у. И получаваме, че производната на у спрямо х е равна на косинус на квадрат от у. И както видяхме в предните уроци, това не е задоволителен резултат. Знаеш, че записах производната на у спрямо х като функция на у. Но всъщност искаме да я запишем като функция на х. И за да направим това, ще изразим косинус на квадрат от у чрез тангенс от у. Причината, поради която тангенс от у представлява интерес, е защото вече знаем, че тангенс от у е равно на х. Можем да запишем уравнението, като използваме тригонометричните тъждества. Тогава с тангенс от у... можем да заместим тангенс от у навсякъде, където се среща, с х. Нека да видим дали можем да го направим. Изглежда малко подвеждащо. Предоставят ни тангенс от у, но бихме предпочели да имаме синус върху косинус. Това е, на което е равен тангенсът. А тук имаме просто косинус на квадрат от у. Решението ще отнеме малко повече експериментиране, отколкото имаше в предните два урока. Едно нещо, което може да направим, е да разделим на 1. Разделянето на 1 не променя израза. Следователно може да кажем, че това е същото уравнение. Тоест същото нещо като косинус на квадрат от у... Наистина ще го направя, за да проверя дали мога да го изразя като някакъв вид рационален израз, който в някакъв момент може да включва синус, разделен на косинус, така че да съдържа тангенс. Нека да разделим уравнението на 1. От основното тригонометрично тъждество знаем, че 1 е равно на синус на квадрат от у плюс косинус на квадрат от у. Нека да опитаме по този начин, или може да запишем косинус на квадрат от у плюс синус на квадрат от у. Още веднъж, защо мога да разделя на този израз? Получихме този израз чрез основното тригонометрично тъждество, което произлиза от единичната окръжност и определението за тригонометрични функции, и ето това е равно на 1. Не съм променял стойността на този израз. Това, което прави този резултат интересен, е, че ако исках да съдържа синус, разделен на косинус, можех просто да разделя числителя и знаменателя на косинус на квадрат, така че нека да го направим. Нека да умножим по 1 върху косинус... Или казано по друг начин, да разделим числителя на косинус на квадрат от у, и да разделим знаменателя на косинус на квадрат от у. Същото е като да умножим всеки от тях по 1 върху косинус на квадрат от у. Какво ще ни даде това? В числителя ето тези членове ще се съкратят, така че ще остане само 1. А в знаменателя - това по ето това ще бъде равно на 1. След това ще ти останат синус на квадрат, т.е. синус на квадрат у върху косинус на квадрат от у. Това е точно целта, която исках да постигна. Разполагам със синус на квадрат, разделен на косинус на квадрат. Така че, това ето тук е същото нещо като...Всъщност нека просто да го запиша по следния начин. Това е същото нещо като синус от у върху косинус от у. И цялото е на квадрат, което разбира се, е същото нещо като 1 върху 1 плюс тангенс на квадрат от у. Този израз е равен на този. Защо това е полезно? Е, знаем, че х е равно на тангенс от у. Тогава това ще бъде равно на... 1 / 1 плюс тангенс на квадрат от у, което е равно на х^2. Това е доста вълнуващо! Току-що намерихме производната на у спрямо х. Производната на този израз спрямо х е равна на 1 върху (1+ х^2). Следователно може да го запишем ето тук горе. И така, това ще бъде равно на 1/(1+ х^2). И сме готови.