Основно съдържание

Диференциално смятане

Курс: Диференциално смятане > Раздел 3

Урок 2: Допълнителни упражнения върху верижното правило

Доказване на правилото за диференциране на сложни функции

Доказване на верижното правило за производни.

Верижното правило ни казва как да намираме производната на сложна функция:

\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

Курсът по Елементи на математическия анализ 1 не изисква доказването на това правило, но ние вярваме, че щом доказателството е достъпно, има какво да се научи от него. В общи линии винаги е добре да изискваш някакво доказателство или обяснение за теоремите, които учиш.

Първо искам да докажем две по-малки твърдения, които ще използваме, за да докажем верижното правило.

(Твърдения, които се използват в рамките на доказателство, се наричат леми.)

1. Ако една функция е диференцируема, тогава тя също е непрекъсната.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Proof: Differentiability implies continuityВиж видео транскрипцията

2. Ако функция $u$ ‍ е непрекъсната при $x$ ‍, тогава $Δ u \to 0$ ‍, когато $Δ x \to 0$ ‍.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

If function u is continuous at x, then Δu→0 as Δx→0 Виж видео транскрипцията

Сега сме готови да докажем верижното правило!

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Chain rule proofВиж видео транскрипцията

Бонус: Можем да използваме верижното правило и правилото за произведение, за да докажем правилото за частно.

Правилото за частно ни казва как да намираме производната на частно:

\begin{aligned} \frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}] & = \frac{\frac{d}{d x} [f (x)] \cdot g (x) - f (x) \cdot \frac{d}{d x} [g (x)]}{[g (x)]^{2}} \\ = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}} \end{aligned}

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Quotient rule from product & chain rulesВиж видео транскрипцията

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Диференциално смятане

Курс: Диференциално смятане > Раздел 3

Първо искам да докажем две по-малки твърдения, които ще използваме, за да докажем верижното правило.

1. Ако една функция е диференцируема, тогава тя също е непрекъсната.

2. Ако функция u‍ е непрекъсната при x‍ , тогава Δu→0‍ , когато Δx→0‍ .

Сега сме готови да докажем верижното правило!

Бонус: Можем да използваме верижното правило и правилото за произведение, за да докажем правилото за частно.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

2. Ако функция $u$ ‍ е непрекъсната при $x$ ‍, тогава $Δ u \to 0$ ‍, когато $Δ x \to 0$ ‍.