Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:5:25

Видео транскрипция

В настоящия урок искам да изследвам намирането на производни на функции със степени. Вече видяхме, че производната спрямо x на e^x е равна на e^x, което е удивително нещо. Едно от многото неща, които правят 'e' специално число по някакъв начин. Въпреки че е дадена функция със степен, и с числото e за основа ето тук, производната на функцията, т.е. наклонът в коя да е точка от функцията, ще бъде равен на стойността на самата функция. Нека сега да изследваме случаи, в които имаме други числа за основа. Можем ли по някакъв начин да намерим на какво е равна производната спрямо x, когато имаме a^x, където a може да е всяко число? Има ли начин да отговорим на този въпрос? Може да е като използваме знанието, че производната на e^x е равна на e^x. А може ли да използваме малко алгебра и свойства на степените, за да запишем функцията, така че да изглежда като нещо, което има числото e за основа? Може да разглеждаш числото a, може да го разглеждаш като нещо, което е свързано с числото e. Нека да го запиша по следния начин. Добре. Разглеждаме a като равно на е на степен натурален логаритъм от а. Ако сега не е очевидно за теб, то наистина искам да помислиш върху това. Какво представлява натуралният логаритъм от a? Натуралният логаритъм от a е степента, на която следва да повдигнеш числото е, за да получиш числото а. Ако действително повдигнеш e на степен... ако повдигнеш e на степента, която е необходима, за да се получи числото а. Тогава просто ще получиш числото а. Така че наистина помисли върху това. Недей наготово да приемаш това за истина. Наистина трябва да го разбереш. И това ще дойде от знанието какво всъщност е логаритъм. Може да заместим a с целия този израз ето тук. Ако a е същото нещо като e на степен натурален логаритъм от a, то тогава производната ще бъде... Производната ще бъде равна на производната спрямо x на е на степен натурален логаритъм. О, продължавам да пиша la! На степен натурален логаритъм от а. След това ще повдигнем този израз на степен x. ще повдигнем този израз на степен x. И сега, просто като използваме свойствата на степените, това ще бъде равно на производната спрямо x на... Продължавам да използвам различни цветове. Ако повдигна нещо на степен, а след това повдигна резултата на степен, то това е нещо, което представлява повдигането на нашата основа на произведението от тези две степени. Това е просто основно свойство на степените. Следователно този израз ще бъде същото нещо като е на степен натурален логаритъм от a... На степен натурален логаритъм от a, умножено по x. Умножено по x в степенния показател. Сега може да използваме верижното правило, за да намерим производната. Това, което ще направим, е първо да намерим производната на външната функция. Тоест на числото e на степен натурален логаритъм от a по x, спрямо вътрешната функция, спрямо натурален логаритъм от а по x. И така, това ще бъде равно на e на степен натурален логаритъм от a по x. След това намираме производната на вътрешната функция спрямо x. E, натурален логаритъм от a, може да не се досетиш веднага, но това просто ще бъде числото ln(a). Следователно това число просто ще бъде умножено по производната. Ако беше производната на 3 по x, щеше да бъде просто 3. Ако е производната на натурален логаритъм от a по x, то ще бъде просто натурален логаритъм от a. И това ще ни даде като резултат натурален логаритъм от a по e на степен натурален логаритъм от a. Ще го запиша по следния начин. Повдигнато на степен x. Вече сме виждали това. Това ето тук е просто числото а. Следователно резултатът се опростява. Опростява се до натурален логаритъм от a умножено по а на степен x, което изглежда сравнително добре като резултат. Следователно ако търсиш производната на e на степен x, то просто ще е равна на е на степен x. Ако търсиш производната на а на степен x, тя е равна на натурален логаритъм от а, умножено по а на степен x. Сега вече може да използваме този резултат, за да намираме производните на такива видове изрази, които имат основа, различна от числото e. Ако искам да намеря производната спрямо x на 8 по 3 на степен x, то на какво ще е равна тя? Това просто ще бъде равно на 8 умножено по производната на този израз тук. Като се основаваме на това, което току-що намерихме, това ще бъде натурален логаритъм от основата, т.е. натурален логаритъм от 3, по 3 на степен x. Умножено по 3 на степен x. Следователно производната е равна на 8 по натурален логаритъм от 3, по 3 на степен x. Умножено по 3 на степен x.