Решен пример: Прилагане на правилото за диференциране на сложна функция за намиране производната на log₄(x²+x)

Нека да кажем, че функцията y e равна на логаритъм от (x^2 + x) с основа 4. На какво ще бъде равна производната на функцията y спрямо x? Може би веднага ще познаеш, че това е съставна функция. Вземаме основата на логаритъма 4, а не само x. Вземаме това като друг израз, който включва x. Бихме могли да кажем, можем да кажем, че това нещо в синьо е u(x). Нека да направя това в синьо. И така, това нещо в синьо е u(x). Функцията u(x) е равна на (x^2 + x). А по-късно ще бъде полезно да разберем, на какво е равно u'(x). Това ще бъде равно... Просто ще използвам правилото за намиране производна на степен. 2x + 1 Изнесох тези два члена отпред и намалих степента. Производната на x спрямо x e 1. Можем да кажем, че логаритъм от тези неща с основа 4 бихме могли да го наречем функция V... Бихме могли да кажем, ако кажем, че това е v(x), то това ще бъде логаритъм от x^2 + x с основа 4. Показахме и в други уроци, че v'(x) ще бъде твърде подобна на израза, когато основата на логаритъма е 'e' или натурален логаритъм, освен че ще го умножим. Ще бъде равно на 1 върху... 1 върху логаритъм с основа 4. Извинявам се, 1 върху натурален логаритъм. Натурален логаритъм от 4, умножен по x. Ако тази функция беше v(x), ако v(x) беше просто натурален логаритъм от x, производната щеше да бъде 1 върху x. Но умножаваме поради това, че логаритъмът има основа 4, а това се получава директно от формулата за смяна на основата, която вече сме показвали. Има урок, където го показваме. Просто увеличихме знаменателя с този натурален логаритъм от 4. Мислиш за увеличаване на целия израз чрез 1 върху натурален логаритъм от 4. Сега можем да използваме тази информация. Тази функция y може да бъде разглеждана като v от... V от.... Не забравяй, че v е логаритъм с основа 4 от нещо. Но това не е v(x). Тук нямаме просто x. Разполагаме с цял израз, който дефинира u(x). Ето тук ни е дадена функцията u(x). Нека да начертая една малка линия ето тук, така че да не объркаме тези две части. От верижното правило знаем, че намираме производната на функцията y спрямо x. Това ще бъде производната на v спрямо u. Може да наречем това v'. v'(u(x)). Нека да направя u(x) в син цвят. v'(u(x)) умножено по u'(x). На какво е равно v'(u(x))? Знаем на какво е равно v'(x) Ако искаме да знаем на какво е равно v'(u(x)), то просто заместваме там, където виждаме x с функцията u(x). Производната ще бъде равна на v'(u(x)), u(x). И това, което правиш, е просто да намериш производната на зелената функция спрямо синята функция. Ще бъде равно на 1 върху натурален логаритъм от 4. Умножено по...На мястото на x ще бъде умножено по u(x). По u(x). И цялото това нещо разбира се е умножено по u'(x). Правя повече стъпки, защото се надявам, че така ще бъде по-ясно какво правя тук. И така, това е 1 върху натурален логаритъм от 4. u(x) е равно на (x^2 + x). x^2 + x След това умножаваме този резултат по u'(x). Следователно по (2x + 1). Може просто да запишем израза отново като 2x + 1 върху... върху... натурален логаритъм от 4. Натурален логаритъм от 4, умножено по (x^2 + x). По x^2 плюс x. Готови сме и можем да разкрием скобите за този натурален логаритъм от 4, ако това ни се стори интересно. Но просто намерихме производната на функцията y спрямо x.