Решен пример: Намиране на производната на sec(3π/2-x) чрез правилото за диференциране на сложна функция

Да кажем, че имаме у равно на секанс от 3π/2 – х. Искаме да намерим dy/dx, каква е производната на у спрямо х при х равно на π/4. Както винаги спри видеото и се опитай да го решиш самостоятелно. Както виждаш, имаме сложна функция. Смятаме секанс не само от х, а можем да разглеждаме това като друг израз. Този х може да се дефинира като друга функция. Например ако наречем това тук u(x)... Нека го направим. Ако кажем, че u(x) = 3π/2 – х, можем също да намерим, че u прим от х ще е равно на: производната на 3π/2 ще бъде просто 0. Производната на –х ще бъде просто –1, което го намираме от правилото за производна от степен. –1 по х на степен 0, което е просто 1. Готово. Можем да разглеждаме това като производната на секанс спрямо u(x).. Производната на секанс спрямо u(x) по производната на u спрямо х. Може да си кажеш: "Ами производната на секанс?" В други видеа ще я докажем и ще можеш да я извеждаш. Секанс е просто 1 върху косинус от х, което идва от верижното правило. В други видеа ще докажем, че производната на secx е равна на sinx върху cosx на квадрат. Ако търсим производната на у спрямо х, тя ще бъде производната на sec спрямо u(x) по производната на u спрямо х. Хайде да го направим. Производната на секанс спрямо u(x)... Вместо да виждаме х навсякъде, ще виждаме u(x) навсякъде. Следователно това ще бъде sin от u(x). Не е нужно да пиша u(x). Мога да запиша 3π/2 – х, но ще напиша u(x) тук, за да визуализирам какво правим. sin от u(x) върху cos квадрат u(x)... Правим тези скоби в син цвят за да се уверим, че това се разпознава като тригонометрична функция. cos квадрат u(x)... Това е производната на секанс спрямо u(x), и тогава верижното правило ни казва, че ще бъде това по u прим от х. На какво ще е равно това? Можем просто да заместим обратно. Това ще бъде равно на... Ще го запиша така. sin от u(x), което е 3π/2 – х. Ще го запълня след малко. Върху cos от u(x) на квадрат по u прим от х. u(х) е 3π/2 – х. После u прим от х, което вече намерихме, че е –1. Следователно мога да запиша по –1. Нека го остава така засега. Можех да поставя минус отпред, но наистина искам да можеш да видиш какво правя тук. Сега искаме да сметнем при х = π/4. Това е равно на π/4. Да видим. Ще бъде... Това ще бъде равно на sin от... На какво е равно 3π/2 – π/4? Ще го сметна тук. Нека приведем към общ знаменател 4, тук става 6π/4, което е същото като 3π/2 минус π/4 и става равно на 5π/4. Следователно това е sin от 5π/4 върху cos квадрат от 5π/4, и тогава по –1. Мога да го поставя тук. Какво са sin от 5π/4 и cos квадрат от 5π/4? Нямам го запаметено, но нека всъщност начертаем единична окръжност и би трябвало да успеем да разберем така. Единична окръжност. Ще се постарая да го начертая на ръка. Извинявам се, че тази окръжност не прилича много на окръжност. Добре. Нека само да запомня ъглите. Понякога превръщам наум градуси. π/4 е 45 градуса. Това е π/2, това е 3π/4, това е 4π/4, това е 5π/4. Стигаме точно до тук. Ако искахме да разберем къде се пресича единичната окръжност, това е точката. Нашата х координата е отрицателен корен квадратен от 2, върху 2, а нашата у координата е минус корен квадратен от 2, върху 2. Ако се чудиш как намерих това, те насърчавам да си преговориш единичната окръжност и малко от стандартните ъгли в единичната окръжност. Ще намериш това в секцията за тригонометрия в Кан Академия. Това ни е достатъчно, защото синусът е у координатата. Тази у координата. Минус корен квадратен от 2, върху 2. Това е минус корен квадратен от 2, върху 2. А косинусът е х координатата, което също е минус корен квадратен от 2 върху 2. Тя ще бъде на квадрат. Минус корен квадратен от 2, върху 2, цялото на квадрат. Ако повдигнем това на квадрат, ще стане... Това ще стане положително, Корен квадратен от 2 на квадрат ще е 2, а 2 на квадрат ще е 4. Следователно 1/2. Това е. Знаменателят е равен на 1/2. Виж числителя. Този минус се съкращава с този минус. Остава ни... Заслужаваме барабанен поздрав. Остава ни корен квадратен от 2, върху 2, което е числителя, делено на 1/2, което е същото нещо, сякаш умножаваме по 2. Следователно ни остава положителен корен квадратен от 2, което е наклонът на допирателната към графиката у равно на това при х = π/4. Доста забележително.